Álgebra

Álgebra Linear – Ortogonalidade da Matriz de Householder

Questão Prove que a matriz de Householder, $$H=I-\frac{2}{|u|^{2}}\cdot u\otimes u^{T}$$, é uma matriz ortogonal. Observação: O produto exterior é igual à matriz produto de coordenadas do vetor $$u$$, isto é, $$u\otimes u^{T}=[u_{i}u_{j}]$$, onde $$u=(u_{1},…,u_{n})\neq 0$$. Demonstração: Definição da matriz de Householder: $$H=\left\{\begin{array}{rc} 1-\alpha\cdot u_{i}^{2},&\mbox{se}\quad i=j,\\ -\alpha\cdot u_{i}u_{j}, &\mbox{se}\quad i\neq j. \end{array}\right. $$, onde $$\alpha = 2/|u|^{2}$$. 1) O produto $$<q_{k},q_{k}>=1$$, onde $$q_{k}=[\alpha\cdot u_{1}u_{k},…,1-\alpha u_{k}^{2},…,\alpha\cdot u_{n}u_{k}]$$ é a k-ésima coluna da matriz $$H$$. De fato, \[<q_{k},q_{k}> Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Sistemas Lineares Homogêneos(Teorema)

Teorema: Seja uma matriz $$A\in\mathcal{M}({\mathbb{R}})_{m\times n}$$, com $$m<n$$. Então o sistema linear $$Ax=0$$ admite uma solução não trivial (não nula). Demonstração: Passo 1 Por indução, faremos para $$n=1$$. Neste caso, existe apenas a equação $$b_{1 1}x_{1}+…+b_{1 n}x_{n}=0$$. Isolando $$x_{n}$$, obtemos \[x_{n}=\frac{-1}{b_{1 n}}\cdot (b_{1 1}x_{1}+…+b_{1 n-1}x_{n-1})\]. Atribuindo valores específicos, por exemplo: $$x_{1}=x_{2}=…=x_{n-2}=0$$ e $$x_{n-1}=1$$, obtemos a solução não trivial: \[x=(0,…,1,\frac{-b_{1 n-2}}{b_{1 n}})\] Passo 2: Assumimos que a hipótese de indução é válida para matrizes $$m-1 \times Leia mais…

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Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Espaços Métricos (exercício 2)

Exercício Seja $$d: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}$$ uma função tal que $$d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$$ e $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(z,y)$$. Prove que $$d$$ é uma métrica. Solução: a) Provaremos que $$d(x,y)>0$$, para $$x\neq y$$. De fato, utilizando as duas propriedades do enunciado, para $$z=x$$, temos: \[0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(x,y)\Longrightarrow 0\leq 2\cdot d(x,y)\Longrightarrow 0\leq d(x,y)\]. Por hipótese da primeira propriedade, conclui-se que $$d(x,y)>0$$. b) Usaremos duas vezes a desigualdade da hipótese, para provarmos que a distância é simétrica, ou seja, $$d(x,y)=d(y,x). Com Leia mais…

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Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Espaços Métricos (exercício 1)

Exercício Dada uma sequência de pontos, $$(x_{1},…,x_{n})$$, num espaço métrico $$(S,d)$$, prove que $$d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+…+d(x_{n-1},x_{n})$$. Solução: Provemos que a desigualdade é válida para $$n=4$$, com a Desigualdade Triangular. Com efeito, sabemos que: $$d(x_{1},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{4})$$; $$d(x_{2},x_{4})\leq d(x_{2},x_{3})+d(x_{3},x_{4})$$. Substituindo a segunda desigualdade na primeira, obtemos a expressão a seguir: \[d(x_{1},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+d(x_{3},x_{4})\]. A desigualdade fica provada. Assumindo, por hipótese de indução, que é válida a afirmação do enunciado, provemos que é válida para $$n+1$$. Substituiremos a expressão Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 8)

Questões anteriores Exercício Seja $$\varphi$$ um operador linear, sobre o espaço vetorial $$V$$, tal que $$\varphi^{2}=I_{d}$$ (identidade). Mostre que $$V=U\oplus W$$,com $$U=\{v\in V;\varphi(v)=v\}$$, e $$W=\{v\in  V;\varphi(v)=-v\}$$. Solução: $$U$$ e $$W$$ são subespaços vetoriais de $$V$$ porque $$\varphi^{2}=I_{d}$$. Com efeito, tivéssemos $$v\in W$$, $$\varphi(\varphi(v))=\varphi(-v)=v$$. Do contrário, ter-se-ia $$\varphi(-v)=-v$$, fazendo com que $$-v\in U$$ — um absurdo, para ser $$W$$ um subespaço vetorial. Consequentemente, se $$v\in U\cap W$$, $$\varphi(v)=v=-v$$, portanto $$v=0$$. Isto mostra que a interseção dos Leia mais…

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Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercícios 2)

Questões Anteriores Exercício Seja $$f^{*}:\mathbb{R}\longrightarrow E$$ a adjunta do funcional linear $$f: E\longrightarrow \mathbb{R}$$. Prove que $$v=f^{*}(1)$$ é vetor de $$E$$ que corresponde a $$f$$ pelo isomorfismo do teorema da representação de Riesz. Prove ainda que $$f(f^{*}(1))=|v|^{2}$$ e $$f^{*}(f(w))=<w;v>v$$, para todo $$w\in E$$. Solução: Da propriedade adjunta, $$f(w)\cdot 1 = <w;f^{*}(1)>=<w;v>$$. Pelo teorema da representação, sabemos do isomorfismo $$\xi :E\longrightarrow E^{*}$$ tal que $$\xi (v)=<w;v>$$, para todo $$w\in E$$. Agora, façamos a composição de funções: Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 7)

Questões anteriores Exercício Se os vetores $$v_{1},…,v_{m}\in E$$ geram um subespaço vetorial de dimensão $$r$$, prove que o conjunto dos vetores $$(\alpha_{1},…,\alpha_{m})\in\mathbb{R}^{m}$$ tais que $$\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{m}v_{m}=0$$ é um subespaço vetorial de $$\mathbb{R}^{m}$$ com dimensão $$m-r$$. Solução: Definimos a transformação linear $$\phi:\mathbb{R}^{m}\longrightarrow E$$ com $$\phi((\alpha_{1},…,\alpha_{m}))=\alpha_{1}v_{1}+…\alpha_{m}v_{m}$$. Note que subespaço imagem de $$\phi$$ é o subespaço gerado pelos vetores indicados inicialmente. Consequentemente, a dimensão deste subespaço é $$r$$, por hipótese do exercício. Aplicando o teorema do Núcleo e da Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 5)

Questões Anteriores Exercício Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$, defina o novo operador $$T_{A}:\mathcal{L}(E)\longrightarrow\mathcal{L}(E)$$, pondo $$T_{A}=AX$$, para todo $$X\in\mathcal{L}(E)$$. Prove que $$T_{A}$$ é invertível se, e somente se, $$A$$ é invertível. Solução: i) Partiremos da informação de que $$A$$ é invertível. A fim de que $$(AX)(v)=\mathbb{0}(v)$$, teremos a seguinte expressão: \[(AX)(v)=A(X(v))=\mathbb{0}(v)\]. Por hipótese, $$A$$ é injetiva, logo $$X(v)=0$$, dado que $$A(X(v))=0$$. Como a expressão é válida para todo Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 4)

Questões anteriores Questão Sejam $$A,P: E\longrightarrow E$$ operadores lineares não-nulos tais que $$AP=0$$. Prove que existem vetores não-nulos $$u\neq v$$ com $$Au=Av$$. Solução: Existe $$x\in E$$, não-nulo, tal que $$P(x)\neq 0$$. Seja $$\lambda$$ um escalar não-nulo. Teremos $$P(\lambda x)\neq P(x)$$. Por outro lado, da hipótese, $$A(P(x))=A(P(\lambda\cdot x))$$; reescrevendo noutras palavras, $$A(u)=A(v)$$, embora $$P(x)=v\neq u = P(\lambda\cdot x)$$. Questão Seja $$X: V\longrightarrow W$$ uma transformação linear tal que $$Xv\neq 0$$, para todo $$v\neq 0$$ em $$V$$. Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 3)

Questões anteriores Questão Seja $$C(A)$$ o conjunto dos operadores lineares $$X: E\longrightarrow E$$ que comutam com o operador $$A\in\mathcal{L}(E)$$, isto é, $$XA=AX$$. Prove que $$C(A)$$ é um subespaço vetorial de $$\mathcal{L}(E)$$ e que, para $$X,Y\in C(A)$$, tem-se $$XY\in C(A)$$. Solução: Sejam $$X,Y\in C(A)$$. Façamos a operação distributiva à direita: $$A(X+Y)=AX+AY$$. Por hipótese e pela distributividade à direita, temos: $$AX+AY=XA+YA=(X+Y)A$$. Isto comprova que a soma de dois elementos em $$C(A)$$ é um elemento de $$C(A)$$. Por Leia mais…

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