Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – SVD (exercício 2)

Questão Seja $$A\in\mathbb{M(R)}_{m\times n}$$, e seja a sua decomposição SVD $$A=U\Sigma V^{T}$$, onde $$U=[u_{1}|…|u_{m}]$$, $$V=[v_{1}|…|v_{n}]]$$ e $$\sigma = diag(\sigma_{1},…,\sigma_{r})$$, com $$r=min\{m,n\}$$. Prove as seguintes afirmações: a) $$Av_{i}=\sigma_{i}u_{i}$$, para $$1\leq i \leq r$$, b) $$A^{T}u_{i}=\sigma_{i}v_{i}$$, para $$1\leq i \leq r$$, c) $$A^{T}Av_{i}=\sigma_{i}^{2}u_{i}$$, para $$1\leq i \leq r$$ d) $$AA^{T}u_{i}=\sigma_{i}^{2}v_{i}$$, para $$1\leq i \leq r$$, e) O posto da matriz $$A$$ é igual ao número de valores singulares. Analise o caso de posto completo e o caso Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 4)

Questão Seja A uma matriz quadrada e ε > 0. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: a) $$\lambda$$ é autovalor de $$A+B$$, para alguma matriz $$B$$, com $$||B||_{2}\leq\epsilon$$. b) Existe $$||v||_{2}=1$$ tal que $$||A-\lambda I||_{2}\leq\epsilon$$. c) $$||(A-\lambda I)^{-1}||_{2}\leq 1/\epsilon$$. Demonstração: (a) implica (b): Por hipótese, existe $$u$$ tal que $$(A+B-\lambda I)u=0$$, ou $$(A-\lambda I)u=-Bu$$. Propriedade da norma induzida: $$||B||_{2}\geq ||Bx||/||x||$$, para qualquer vetor $$x$$. Daqui, temos: $$\epsilon\geq ||B||_{2}\geq \frac{||Bu||_{2}}{||u||}=\frac{||-Bu||_{2}}{||u||_{2}}=\frac{||(A-\lambda  I)u||_{2}}{||u||_{2}}$$. Em particular, $$\frac{||(A-\lambda  I)u||_{2}}{||u||_{2}} Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 3)

Questão Sejam $$d\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os seus valores distintos,$$ v\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os elementos não nulos e $$a\in\mathbb{R}$$, e defina $$A=\left(\begin{array}{rrr} D&v\\ v^{T}&a \end{array}\right)$$, com $$D=diag(d_{1},…,d_{n}$$. Se $$\lambda\in\Lambda(A)$$, prove que: a) $$D-\lambda I$$ é não singular; b) $$\sum^{n}_{i=1}\frac{v_{i}^{2}}{d_{i}-\lambda}=a-\lambda$$. Demonstração: 1) Cálculo do determinante de $$A$$. Pela definição, $$det(A)=\sum_{\sigma}a_{1i_{1}}\cdot …\cdot a_{n+1 i_{n+1}}\cdot (-1)^{sg(\sigma)}$$. Note que a maioria das permutações possíveis terão produto $$a_{1i_{1}}\cdot …\cdot a_{n+1 i_{n+1}}$$ nulo, com exceção das permutações de ciclo 2 que trocam Leia mais…

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Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Espaço de Hilbert (exercício 3)

Questão Mostre que, para uma sequência $$(x_{n})$$, em um espaço vetorial munido de produto interno, se $$||x_{n}||\longrightarrow ||x||$$ e $$<x_{n},x>\longrightarrow <x,x>$$, é válida a convergência $$x_{n}\longrightarrow x$$. Demonstração: Observa-se que $$||x_{n}||\longrightarrow ||x|| \Longleftrightarrow ||x_{n}||^{2}\longrightarrow ||x||^{2}$$. Precisamos mostrar a sentença a seguir: \[\lim_{n\to\infty}||x_{n}-x||=0\]. Para tanto, assumamos que $$\lim_{n\to\infty} ||x_{n}-x||=0 \Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty} ||x_{n}-x||^{2}=0$$.   Por definição, $$||x_{n}-x||^{2}=<x_{n}-x;x_{n}-x>= <x_{n};x_{n}>+<x;x>-<x_{n};x>-<x;x_{n}>$$. Note também que $$\lim_{n\to\infty} \overline{a_{n}}=\overline{\lim_{n\to\infty}a_{n}}$$, para uma sequência numérica, definida nos números complexos. Da hipótese, $$\lim_{n\to\infty}-<x_{n};x>=-<x;x>=\lim_{n\to\infty}-\overline{<x;x_{n}>}$$Calculamos a sentença a Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – SVD (exercício 1)

Questão Seja $$A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$$. Prove que $$\sigma_{1}=sup_{x,y}\frac{y^{T}Ax}{||y||_{2}||x||_{2}}$$, para $$x\in\mathbb{R^{n}} e $$y\in\mathbb{R^{m}}$$, onde $$sigma_{1}$$ é o maior valor singular da SVD. Demonstração: Pelo teorema da SVD, $$A=U\Sigma V^{T}$$Redução da expressão: \[y^{T}Ax=y^{T}U\Sigma V^{T}x=(U^{T}y)^{T}\Sigma (V^{T}x)\]. Poremos $$u=U^{T}y$$ e $$v=V^{T}x$$. Por hipótese do teorema da existência da SVD, as matrizes $$U$$ e $$V$$ são unitárias, logo $$||u||_{2}=||U^{T}y||_{2}=||y||_{2}$$ e $$||v||_{2}=||V^{T}x||_{2}=||x||_{2}$$. Sejam $$v=(a_{1},…a_{n})$$ e $$u=(b_{1},…b_{m})$$, e suponha, sem perda de generalidade, que $$n\leq m$$. A expressão $$u^{T}\Sigma v = a_{1}b_{1}\sigma_{1}+…+a_{n}b_{n}\sigma_{n}$$. Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 2)

Questão Seja H uma matriz hermitiana. Prove que: (a) Se $$H = A + iB$$, com $$A$$ e $$B$$ reais, A é simétrica, e B é anti-simétrica. (b) $$H ± iI$$ é invertível. (c) $$(H ± iI)^{-1}\cdot(H ∓ iI)$$ é unitária. Solução: a) Por hipótese, $$H=H^{*}$$, então $$(A+iB)=(A+iB)^{*}\Longrightarrow A+iB=A^{*}-iB^{*}$$. Daqui, temos: $$A-A^{*}=-i(B+B^{*})$$. Esta sentença é verdadeira se, e somente se, é identicamente nula, isto é, $$A-A^{*}=0\longrightarrow A=A^{*}$$ e $$B+B^{*}=0\longrightarrow B=-B^{*}$$. Além disso, porque $$A$$ e Leia mais…

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Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 1)

Seja A uma matriz hermitiana de ordem $$n$$, com coeficientes complexos. Defina $$r(x)=x^{*}Ax$$. Prove que $$max_{||x||=1}\{r(x)\}=max\{\Lambda(A)\}$$. Prove o resultado análogo para o mínimo. Observação: $$\Lambda(A)$$ é o conjunto de todos os autovalores em módulo da matriz $$A$$. Solução: Pelo teorema espectral, decompomos a matriz na forma $$A=UDU^{*}$$, onde $$D$$ é a matriz diagonal, com os autovalores de $$A$$, e $$U$$ é uma matriz unitária (ortogonal). \[r(x)=x^{*}UDU^{*}x=(U^{*}x)^{*}D(U^{*}x)\]. Pondo $$z=U^{*}x$$, vemos que a norma euclidiana $$||z|| = Leia mais…

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Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Teorema de Banach-Steinhaus (exercício 1)

Sejam E espaço de Banach, F espaço normado e $$T_{n}$$ ∈ $$\mathcal{L}(E, F)$$, tal que $$T_{n}(x)$$ é Cauchy em F para todo x ∈ E. Mostre que $$(||T_{n}||)^{\infty}$$ é limitada. Solução: Por ser uma sequência de Cauchy, fixando $$x$$, escolha $$\epsilon = 1$$. Assim, existirá $$p_{\epsilon}\in\mathbb{N}$$ tal que $$||T_{n}(x)-T_{n+p}(x)||<1$$. Pondo $$n=1$$, obtemos: \[||T_{n+p}||<1+||T_{1}(x)||\]. Portanto, para todo $$p>p_{\epsilon}$$, temos $$||T_{n+p}||<c_{1}$$, com $$c_{1}=1+||T_{1}(x)||$$. Agora, basta escolher $$c_{x}=max\{||T_{1}(x)||,…,||T_{p_{\epsilon} +1}(x)||, c_{1} \}$$, para termos as hipóteses do teorema de Leia mais…

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Álgebra Linear – Ortogonalidade da Matriz de Householder

Questão Prove que a matriz de Householder, $$H=I-\frac{2}{|u|^{2}}\cdot u\otimes u^{T}$$, é uma matriz ortogonal. Observação: O produto exterior é igual à matriz produto de coordenadas do vetor $$u$$, isto é, $$u\otimes u^{T}=[u_{i}u_{j}]$$, onde $$u=(u_{1},…,u_{n})\neq 0$$. Demonstração: Definição da matriz de Householder: $$H=\left\{\begin{array}{rc} 1-\alpha\cdot u_{i}^{2},&\mbox{se}\quad i=j,\\ -\alpha\cdot u_{i}u_{j}, &\mbox{se}\quad i\neq j. \end{array}\right. $$, onde $$\alpha = 2/|u|^{2}$$. 1) O produto $$<q_{k},q_{k}>=1$$, onde $$q_{k}=[\alpha\cdot u_{1}u_{k},…,1-\alpha u_{k}^{2},…,\alpha\cdot u_{n}u_{k}]$$ é a k-ésima coluna da matriz $$H$$. De fato, \[<q_{k},q_{k}> Leia mais…

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Álgebra Linear – Sistemas Lineares Homogêneos(Teorema)

Teorema: Seja uma matriz $$A\in\mathcal{M}({\mathbb{R}})_{m\times n}$$, com $$m<n$$. Então o sistema linear $$Ax=0$$ admite uma solução não trivial (não nula). Demonstração: Passo 1 Por indução, faremos para $$n=1$$. Neste caso, existe apenas a equação $$b_{1 1}x_{1}+…+b_{1 n}x_{n}=0$$. Isolando $$x_{n}$$, obtemos \[x_{n}=\frac{-1}{b_{1 n}}\cdot (b_{1 1}x_{1}+…+b_{1 n-1}x_{n-1})\]. Atribuindo valores específicos, por exemplo: $$x_{1}=x_{2}=…=x_{n-2}=0$$ e $$x_{n-1}=1$$, obtemos a solução não trivial: \[x=(0,…,1,\frac{-b_{1 n-2}}{b_{1 n}})\] Passo 2: Assumimos que a hipótese de indução é válida para matrizes $$m-1 \times Leia mais…

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