Álgebra de Anéis: inteiros módulo n (exercícios)

Questão

Seja $$n$$ um inteiro positivo que não é primo. Mostre que o anel $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$ não é um domínio.

Solução: 

Podemos escolher $$a,b\in\mathbb{Z}$$, distintos e positivos, de modo que $$a\cdot b = n$$, uma vez que $$n$$ não é um número primo (pela teorema de decomposição em números primos, no mínimo, $$n=p\cdot p$$, com $$p$$ primo). Realizando o produto das classes de equivalência, notamos o que vem a seguir:

\[\bar{a}\cdot\bar{b}=\overline{a\cdot b}=\bar{n}\].

Por definição, $$\bar{n}=n\mathbb{Z}=\bar{0}$$, ou seja, este é o elemento neutro aditivo, resultado de um produto de dois elementos distintos do referido elemento. Portanto este conjunto não é um domínio de integridade.


 

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