Álgebra Linear Computacional – Matriz de Posto 1 (potência matricial)

Definição e propriedade da matriz $$C$$ (clique aqui).

Propriedade: Seja $$C=(vw^{T})$$, com $$v_{n\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$. É verdade que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$.

Demonstração: Provaremos para $$k=2$$, inicialmente.

$$C^{2}=(vw^{T})(vw^{T})$$. Este é um produto matricial. Mas há uma propriedade que permite comutar o centro deste produto exterior:

\[(vw^{T})(vw^{T}) = v(w^{T}v)w^{T}=(w^{T}v)(vw^{T})\].

O primeiro termo da expressão é o produto interno entre os dois vetores; é permitido comutar o produto exterior, dado que este valor é real (ou, analogamente, complexo).

Por hipótese de indução assumimos que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$.

\[C^{k+1}=C^{k}\times (vw^{T})=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})(vw^{T})=(w^{T}v)^{k-1}v(w^{T}v)w^{T}=(w^{T}v)^{k}(vw^{T})\].

Demonstramos que a propriedade é válida para $$C^{k+1}$$, dado que a propriedade é válida para $$C^{k}$$.


Algoritmo Computacional (produto matricial)

//produto interno
s=0;
for i=1:n
    s=s+v(i)*w(i)
end

p=s^{k-1};

for i=1:n
    for j=1:n
        
         //D = C^k
        //cada elemento é vi*wj*produto escalar à potência (k-1)
        D(i,j)=p*v(i)*w(j)
        
        end
end

Na página anterior, vimos que $$Cb=<w,b>\cdot v$$, para o caso $$C=vw^{T}$$, $$v_{m\times n}$$ e $$w,b_{n\times 1}$$.

Com a propriedade demonstrada nesta página, temos:

\[C^{k}b=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})b=(w^{T}v)^{k-1}\cdot<w,b>\cdot v\].

O produto da potência da matriz com o vetor $$b_{n\times 1}$$ pode ser reduzido à multiplicação de dois produtos escalares a um vetor.

Algoritmo computacional

//produtos internos
r=s=0;

for i=1:n
    s=s+v(i)*w(i)
    r=r+w(i)*b(i)
end

p=s^{k-1};

for i=1:n
z = r*p*v(i);
end