Álgebra Linear – Matriz Inversa – Teoria e Exercícios

Definição

Seja A uma matriz quadrada de ordem $$n$$. Diz-se que $$E_{n\times n}$$ é uma matriz inversa de $$A$$, se $$EA=AE=I_{n}$$, em que $$I_{n}$$ é a matriz identidade de ordem $$n$$.

Se houver a matriz $$E$$, ela pode ser denotada por $$A^{-1}$$, e $$A$$ é denominada matriz invertível.


Propriedades Algébricas

1. Seja $$A$$ invertível. Sua inversa é única.

1. Sejam $$A$$ e $$B$$ matrizes de ordem $$n$$, com as respectivas matrizes inversas $$A^{-1}$$ e $$B^{-1}$$. Então valem as expressões:

a. $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$.

b. $$A^{t}$$ é invertível e $$(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$$.

 

Demonstração das propriedades

1a. Suponha que existam as matrizes $$B$$ e $$C$$, de mesma ordem de $$A$$, tais que $$AB=BA=I$$ e $$AC=CA=I$$. Podemos manipular a expressão conforme a linha a seguir:

\[B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C\therefore B=C\].

Isso mostra que a inversa é única.


2a. Da hipótese, $$AA^{-1}=I=A^{-1}A$$ e $$BB^{-1}=I=B^{-1}B$$. Quer-se provar que existe uma matriz $$E$$ tal que $$(AB)E=E(AB)=I$$.

Com efeito, das equações exibidas acima, temos as expressões a seguir:

\[A^{-1}A=I\Longrightarrow A^{-1}AB=IB=B\Longrightarrow B^{-1}A^{-1}AB=B^{-1}B=I\therefore B^{-1}A^{-1}(AB)=I\]; e

\[BB^{-1}=I\Longrightarrow ABB^{-1}=AI=A\Longrightarrow ABB^{-1}A^{-1}=A^{-1}A=I\therefore (AB)B^{-1}A^{-1}=I\].

Mostramos que existe uma matriz $$E=B^{-1}A^{-1}$$ que satisfaz às expressões da função inversa de $$AB$$. Adotando a notação da inversa, vemos que $$B^{-1}A^{-1}=E=(AB)^{-1}$$.


2b. Procuramos $$E$$ tal que $$A^{t}E=I=EA^{t}$$.

Da hipótese, podemos tomar a transposta da equação de definição da matriz inversa de $$A$$, conforme segue:

\[I=I^{t}=(AA^{-1})^{t}=(A^{-1})^{t}A^{t}\].

Além disso, faz-se a mesma manipulação para o outro lado:

\[I=I^{t}=(A^{-1}A)^{t}=A^{t}(A^{-1})^{t}\].

Conclui-se que $$E=(A^{-1})^{t}$$. Adotando a notação de inversa, temos que $$(A^{t})^{-1}=E=(A^{-1})^{t}$$.


Exercícios

1) Sejam $$A,B$$ e $$C$$ matrizes invertíveis de ordem $$n$$, com suas respectivas inversas na notação usual. Prove que $$(ABC)=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$.

2) Seja a família de matrizes invertíveis $$\{E_{i}\}_{i\in\{1,2…,n\}}$$. Prove que $$(E_{1}\cdot …\cdot E_{n})^{-1}=E^{-1}_{n}\cdot …\cdot E^{-1}_{1}$$.

3) Sejam $$A$$ e $$B$$ matrizes não nulas de ordem $$n$ tais que $$AB=0_{n\times n}$$ (matriz nula de ordem n)$$. Prove que ambas não são invertíveis.


Soluções dos Exercícios

1) Com base na propriedade demonstrada, temos $$(A(BC))^{-1}=(BC)^{-1}A^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$. O que prova a afirmação.


2) Faremos indução matemática.

Para o caso $$n=3$$, a demonstração foi dada no exercício anterior. Suponha válida a fórmula da hipótese, a fim de provarmos que é válida para $$n+1$$.

Com efeito, $$(E_{1}\cdot …\cdot E_{n+1})^{-1}=((E_{1}\cdot …\cdot E_{n})\cdot E_{n+1})^{-1}=E^{-1}_{n+1}\cdot (E_{1}\cdot …\cdot E_{n})^{-1} = E^{-1}_{n+1}\cdot …\cdot E^{-1}_{1}$$


3) Suponha, por absurdo, que ambas sejam invertíveis, ou seja, existem $$A^{-1}$$ e $$B^{-1}$$ nas condições da inversa. Por hipótese, $$AB=0$$, então $$B=IB=A^{-1}AB=A^{-1}0=0_{n\times n}$$. Essa afirmação é absurda, pois, por hipótese, $$B$$ não deve ser nula. Portanto não existe a inversa de $$A$$. A demonstração para $$B$$ é análoga.

 

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