Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 2)

Questão

Seja H uma matriz hermitiana. Prove que:

(a) Se $$H = A + iB$$, com $$A$$ e $$B$$ reais, A é simétrica, e B é anti-simétrica.
(b) $$H ± iI$$ é invertível.
(c) $$(H ± iI)^{-1}\cdot(H ∓ iI)$$ é unitária.

Solução:

a) Por hipótese, $$H=H^{*}$$, então $$(A+iB)=(A+iB)^{*}\Longrightarrow A+iB=A^{*}-iB^{*}$$.

Daqui, temos: $$A-A^{*}=-i(B+B^{*})$$. Esta sentença é verdadeira se, e somente se, é identicamente nula, isto é, $$A-A^{*}=0\longrightarrow A=A^{*}$$ e $$B+B^{*}=0\longrightarrow B=-B^{*}$$. Além disso, porque $$A$$ e $$B$$ são reais, valem $$A^{*}=A^{T}$$ e $$B^{*}=B^{T}$$. Portanto $$A$$ é simétrica, e $$B$$ é anti-simétrica.

b) Os autovalores da matriz $$H$$ são reais. De fato, existe a decomposição do teorema espectral para $$H=UDU^{*}$$. Então $$H^{*}=U\overline{D}U^{*}$$ e $$H=H^{*}$$, logo $$D=\overline{D}$$, o que implica que os valores da diagonal são iguais aos seus conjugados, ou seja, estes valores são números reais não nulos (a matriz é inversível).

Além disso, $$H$$ e $$H+iI$$ tem os mesmos autovalores: $$det(H+iI)=det(UDU+iI)=det(U(D+iI)U^{*})=det(D+iI) = \Pi^{n}_{j=1}(\lambda_{j}=i)$$. Como os escalares $$\lambda_{j}$$ são os autovalores de $$H$$, então os termos $$(\lambda_{j}-i)\neq 0$$, pelo fato de que $$\lambda_{j}$$ sempre é um número real. Logo a matriz $$H+iI$$ é inversível, pois $$(H+iI)v=0$$ se, e somente se, $$v=0$$. O resultado é análogo para $$H-II$$.

c) Assumimos, do item (b), que $$H+iI$$ e $$H-iI$$ possuem inversas. Faremos a sequência de passos a seguir:

i) $$(H+iI)^{-1}\cdot (H+iI)=I$$, multiplique a expressão por $$(H-iI)$$,

ii) $$(H+iI)^{-1}\cdot (H+iI)\cdot(H-iI)=(H-iI)$$, note que as duas matrizes comutam,

iii) $$(H+iI)^{-1}\cdot (H-iI)\cdot(H+iI)=(H-iI)$$, multiplique a expressão por $$(H-iI)^{-1}$$,

iv) $$(H+iI)^{-1}\cdot (H-iI)\cdot(H+iI)(H-iI)^{-1}=I$$.

 

Aqui, provaremos que $$[(H+iI)^{-1}\cdot (H-iI)]^{*}=(H+iI)(H-iI)^{-1}$$.

Com efeito, \[[(H+iI)^{-1}\cdot (H-iI)]^{*}=(H-iI)^{*}\cdot ((H+iI)^{-1})^{*} = (H+iI)\cdot (H-iI)^{*}\].