Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 4)

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Questão

Seja A uma matriz quadrada e ε > 0. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:

a) $$\lambda$$ é autovalor de $$A+B$$, para alguma matriz $$B$$, com $$||B||_{2}\leq\epsilon$$.

b) Existe $$||v||_{2}=1$$ tal que $$||A-\lambda I||_{2}\leq\epsilon$$.

c) $$||(A-\lambda I)^{-1}||_{2}\leq 1/\epsilon$$.

Demonstração:

(a) implica (b): Por hipótese, existe $$u$$ tal que $$(A+B-\lambda I)u=0$$, ou $$(A-\lambda I)u=-Bu$$.

Propriedade da norma induzida: $$||B||_{2}\geq ||Bx||/||x||$$, para qualquer vetor $$x$$.

Daqui, temos: $$\epsilon\geq ||B||_{2}\geq \frac{||Bu||_{2}}{||u||}=\frac{||-Bu||_{2}}{||u||_{2}}=\frac{||(A-\lambda  I)u||_{2}}{||u||_{2}}$$.

Em particular, $$\frac{||(A-\lambda  I)u||_{2}}{||u||_{2}} = ||(A-\lambda I)\frac{u}{||u||_{2}}||=||(A-\lambda I)v||_{2}$$. Como $$v=\frac{u}{||u||_{2}}$$, $$||v||=1$$. Logo é válida a expressão a baixo:

\[\epsilon\geq ||(A-\lambda I)v||_{2}\].

(b) implica (a): Sabe-se que $$||(A-\lambda I)v||_{2}\cdot ||||(A-\lambda I)^{-1}v||_{2}\geq 1$$. Então \[\epsilon\cdot ||(A-\lambda I)^{-1}v||_{2} \geq ||(A-\lambda I)v||_{2}\cdot ||(A-\lambda I)^{-1}v||_{2}\geq 1\Longrightarrow ||(A-\lambda I)^{-1}v||_{2}\geq \frac{1}{\epsilon}\]

A seta (a) implica (b), e (b) implica (a) segue de modo análogo.