Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 1

Dada uma matriz $$A_{m\times n}$$ com entradas reais, descreva o resultado do produto $$C=E_{ik}A$$, em que $$E_{ik}=I_{m\times m}-\beta\cdot e_{i}e^{T}_{k}$$, $$\beta\in\mathbb{R}$$, $$k\in\mathbb\{1,…,m\}$$ e  $$e_{i},e_{k}$$ são elementos da base canônica de $$R^{m}$$.

Solução:

1) Nota-se que $$I_{m\times m}A = A$$.

De fato, o produto $$IA=[\sum^{m}_{s=1}a_{s1}e_{s};…;\sum^{m}_{s=1}a_{sn}e_{s}]$$ (clique aqui para ver a teoria), em que as colunas da matriz $$I$$ são representadas pelos elementos $$e_{s}$$, da base canônica.

Mas é fato que $$\sum^{m}_{s=1}a_{sj}e_{s}=(a_{1j},…,a_{jm})^{T}$$. Daqui, decorre a igualdade:

\[IA=[\sum^{m}_{s=1}a_{s1}e_{s};…;\sum^{m}_{s=1}a_{sn}e_{s}] = [(a_{11},…,a_{1m})^{T};..;(a_{1n},…,a_{mn})^{T}=A.]\].

2) O produto $$F_{1\times n}=e^{T}_{k}A=(a_{k1};…;a_{kn})$$.

Com efeito, $$e^{T}_{k}A =(0,..,1,..0)A=(\sum^{m}_{s=1}(e_{k})_{1s}a_{s1};…;\sum^{m}_{s=1}(e_{k})_{1s}a_{sn})= (0+…+a_{k1}+…0;…;0+…+a_{kn}+…+0)$$.

 

3) O produto $$R=e_{j}F=[(0;…; a_{k1};…;0)^{T};…;(0;…; a_{kn};…;0)^{T}]$$=

\[\left\{\begin{array}{rc}0,&\mbox{se}\quad i\neq 0,\\a_{kj}, &\mbox{se}\quad i=k.
\end{array}\right. \]

4)

O produto $$E_{ik}A=IA-\beta e_{i}e^{T}_{k}A=A-\beta\cdot R = $$

\[\left\{\begin{array}{rc} a_{sj},&\mbox{se}\quad s\neq i,\\a_{ij}-\beta\cdot a_{kj}, &\mbox{se}\quad s=i.
\end{array}\right. \]

O produto $$E_{ik}A$$ faz com que à linha de índice $$i$$ da matriz $$A$$ seja somado o múltiplo escalar $$-\beta$$ da linha $$k$$ da mesma matriz. Esta é a terceira operação elementar nas linhas de uma matriz.

 

 

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