Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 2

Seja $$P=I-uu^{T}$$, em que $$u=e_{r}-e_{s}$$, e $$e_{i}$$ é um elemento da base canônica de $$\mathbb{R}^{n}$$.

Descreva o resultado do produto matricial $$e^{t}_{j}P$$, para $$j\in\{1,..,n\}$$.

Solução:

Desenvolvendo-se o produto, tem-se

\[e^{T}_{j}P=e^{T}_{j}(I-(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T})=e^{T}_{j}-e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T} =\]

\[\; e^{T}_{j}-e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T}(\ast) \]

 

i) Se $$j\neq r $$ e $$j\neq s$$,  $$e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{j}e_{r}-e^{T}_{j}e_{s}=0+0=0$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{j}-0(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{j}.\]

 

ii) Se $$j=r$$, $$e^{T}_{r}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{r}e_{r}-e^{T}_{r}e_{s}=1-0=1$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{r}-1(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{r}-e^{T}_{r}+e^{T}_{s}=e^{T}_{s}.\]

 

iii) Se $$j=s$$, $$e^{T}_{s}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{s}e_{r}-e^{T}_{s}e_{s}=0-1=-1$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{s}-(-1)(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{s}+e^{T}_{r}-e^{T}_{s}=e^{T}_{r}.\]

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