Álgebra Linear – Norma de Matriz – Exercício 1

Definição

Definição de Norma vetorial

\[||v||_{p}=(\sum^{n}_{i=1} |v_{i}|^{p})^{1/p}\].

Definição de Norma matricial

\[||A||_{p}=\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||Ax||_{p}}{||x||_{p}}\]


Exercício

Demonstre as propriedades da norma p, para matrizes $$A\in\mathbb{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$$, $$B\in\mathbb{M}_{n\times r}(\mathbb{R})$$, e $$x\in \mathbb{R}^{n}$$.

a) $$||Ax||_{p}\leq ||A||_{p}\cdot ||x||_{p}$$.

b) $$||AB||_{p}\leq ||A||_{p}\cdot ||B||_{p}$$.

c) $$||I_{n}||_{p}=1$$.

Lema: Sejam $$A,B\subset\mathbb{R}$$. Ambos os conjuntos são limitados superiormente e possuem a seguinte propriedade: para todo $$x\in A$$, $$x\leq y$$, para todo $$y\in B$$. Então $$\sigma_{A}=sup(A)\leq sup(B)=\sigma_{B}$$.


Solução

Demonstração do Lema

Suponha, por absurdo, que $$\sigma_{A}\geq\sigma_{B}$$. Daqui, existe $$\epsilon_{0}>0$$ tal que $$\sigma_{A}=\epsilon_{0}+\sigma_{B}$$. Das propriedades do supremo, sabe-se que, dado qualquer $$\epsilon>0$$, existe $$x\in A$$ tal que $$\sigma_{A}<x+\epsilon$$. Em particular, ponha $$\epsilon=\epsilon_{0}$$, de modo que $$\sigma_{A}<\epsilon_{0}+x_{0}$$. Tem-se, portanto, a seguinte expressão:

\[y<y+(\epsilon_{0}-\epsilon_{0})<\sigma_{B}+(\epsilon_{0}-\epsilon_{0})<\sigma_{A}-\epsilon_{0}<x_{0}\].

Isto é: existe $$x_{0}\in A$$ para o qual $$y<x_{0}$$, seja qual for $$y\in B$$. Esta última afirmação é uma contradição com a hipótese inicial. Portanto $$\sigma_{A}<\sigma_{B}$$.

Solução:

a) Seja $$\mathcal{S}=\{\frac{||Ax||_{p}}{||x||_{p}},x\in\mathbb{R}^{n}, x\neq 0, \}$$. Da definição de supremo de um conjunto, $$sup(\mathcal{S})\geq y$$, para todo $$y\in\mathcal{S}$$. Daqui, decorre que $$||A||_{p}= sup(\mathcal{S})\geq \frac{||Ax||_{p}}{||x||_{p}}$$, donde se conclui que $$||A||_{p}\cdot ||x||_{p}\geq ||Ax||_{p}$$

b) Com a desigualdade provada no item anterior, temos $$||ABx||_{p}\leq ||A||_{p}||Bx||_{p}$$ e $$||Bx||_{p}\leq ||B||_{p}||x||_{p}$$. Ambas implicam na desigualdade $$||ABx||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p}||x||_{p}$$.

Além disso, conclui-se que $$\frac{||ABx||_{p}}{||x||_{p}}\leq \frac{||A||_{p}||B||_{p}||x||_{p}}{||x||_{p}}=||A||_{p}||B||_{p}\cdot \frac{||x||_{p}}{||x||_{p}}=||A||_{p}||B||_{p}$$.

Pondo $$\mathcal{S}=\{\frac{||ABx||_{p}}{||x||_{p}},x\neq 0\}$$, nota-se, pela desigualdade anterior, que todo elemento em $$\mathcal{S}$$ é limitado superiormente por $$||A||_{p}||B||_{p}$$. Aplicando o lema, conclui-se que $$sup(\mathcal{S})\leq sup(\{||A||_{p}||B||_{p}\})=||A||_{p}||B||_{p}$$.

c) Usa-se a definição.

\[\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||Ix||_{p}}{||x||_{p}}=\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||x||_{p}}{||x||_{p}}=\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}1 = 1\]

 

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