Álgebra Linear – Norma de Matriz – Exercício 2

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Definição

\[cond_{p}(A)=||A||_{p}\cdot||A^{-1}||_{p}\].

Assumindo que $$A_{n\times n}$$ é invertível.

Exercício

Dadas as matrizes invertíveis $$A$$ e $$B$$ em $$\mathbb{M}_{n\times n}$$, demonstre as propriedades a seguir do número de condição da matriz na norma -p.

a) $$cond(A)\geq 1$$.

b) $$cond(\alpha\cdot A)=cond(A)$$, para $$\alpha\in\mathbb{R}$$.

c) $$cond(AB)\leq cond(A)\cdot cond(B)$$.

d) $$cond(A)\geq \frac{||a_{r}||_{p}}{||a_{s}||_{p}}$$, para quaisquer colunas $$a_{r}$$ e $$a_{s}$$ da matriz $$A$$.


Solução:

a) Da propriedade da norma p (link), $$1=||I_{n}||_{p}=||AA^{-1}||_{p}\leq ||A||_{p}||||A^{-1}||_{p}$$.

b) Nota-se que $$(\alpha A)^{-1}=\frac{1}{\alpha}A^{-1}$$. Além disso, $$||\beta A||_{p}=\underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||(\beta A)x||_{p}}{||x||_{p}}=\beta\cdot \underset{||x||_{p}\neq 0}{sup}\frac{||Ax||_{p}}{||x||_{p}}=\beta\cdot ||A||_{p}$$, para $$\beta\in\mathbb{R}$$. Daqui, prossegue a demonstração:

\[cond(\alpha A)=||(\alpha A)||_{p}\cdot ||(\alpha A)^{-1}||_{p}=\alpha\cdot\frac{1}{\alpha}\cdot ||A||_{p}\cdot ||A^{-1}||_{p}=||A||_{p}\cdot ||A^{-1}||_{p}=cond(A)\].

c) $$cond(AB)=||AB||_{p}\cdot ||B^{-1}A^{1}||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p}||B^{-1}||_{p}||B||_{p}=||A||_{p}||A^{-1}||_{p}||B||_{p}||B^{-1}||_{p}=cond(A)\cdot cond(B)$$.

d) Nota-se que $$Ae^{j}=A_{j}$$, onde $$A_{j}$$ representa a coluna (j) da matriz $$A$$.

Daqui e da desigualdade da norma p, $$||Ae_{r}||_{p}\leq||A||_{p}\cdot ||e_{r}|| = ||A||_{p}$$.

Por outro lado, $$1 = ||e_{s}||=||A^{1}Ae_{s}||_{p}\leq ||A^{-1}||_{p}\cdot ||Ae_{s}||_{p}=||A^{-1}||||A_{s}||_{p}$$, ou seja, $$\frac{1}{||A_{s}}||_{p}\leq ||A^{-1}||_{p}$$.

Daqui, $$cond(A)=||A||_{p}\cdot ||A^{-1}||_{p}\geq \frac{||A_{r}||_{p} }{||A_{s}||_{p}}$$.

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