Álgebra Linear – Produto de Matrizes (exercício 3)

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Seja $$A$$ uma matriz de ordem $$m\times n$$, e seja $$B$$ uma matriz de ordem $$n\times p$$ que vamos indicar da seguinte forma:

\[B = [Y_{1} · · · Y_{j} · · · Y_{p}]\]

em que a matriz coluna $$Y_{j}$$ de ordem $$n\times 1$$ é a j–ésima coluna da matriz $$B$$. Mostre que podemos escrever a matriz C = AB da seguinte forma:

\[C = AB =  [AY_{1} · · · AY_{j} · · · AY_{p}] \],

em que a matriz coluna $$Z_{j} = AY_{j}$$ de ordem $$m\times 1$$ × 1 é a j–ésima coluna da matriz C.

Solução:

A coluna (j) da matriz $$C$$ tem os seus elementos de linha obtidos do seguinte modo: $$c_{ij}=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj}$$.

Daqui, temos a representação matricial da coluna: $$(\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj})_{i\in\{1,..,m\}}$$, que pode ser manipulada algebricamente para se obter o resultado desejado.

\[ (\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj})_{i\in\{1,..,m\} }=(a_{i1}b_{1j}+…+a_{in}b_{nj})_{i\in\{1,..,m\}}= b_{1j}(a_{i1})_{i\in\{1,..,m\}}+…+b_{nj}(a_{i1})_{i\in\{1,..,m\}}=b_{1j}b_{1j}A_{1}+…+b_{nj}A_{n}\].

Aqui, $$A_{s}$$ é a coluna de índice (s) da matriz $$A$$.

Pelo teorema demonstrado na exercício anterior, a última igualdade corresponde ao desenvolvimento a seguir:

\[b_{1j}A_{1}+…+b_{nj}A_{n} = AY_{j}\].

Aqui, provamos que $$AY_{j}$$ é a coluna de índice (j) da matriz $$AB$$. Por conseguinte, conclui-se que $$C=AB=[AY_{1}|…|AY_{p}]$$.

Referências

Petronio Pulino – Álgebra Linear e suas aplicações, Capítulo 2

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