Álgebra Linear – Produto Interno (exercício 1)

Questão

Seja $$\{u_{1},…,u_{n}\}\subset E$$ uma base ortonormal. Prove que, para $$v,w\in E$$ arbitrários, tem-se $$<v,w>=\sum^{n}_{i=1}<v,u_{i}>\cdot <w,u_{i}>$$.

Solução:

Escreve-se $$v=\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}u_{i}$$ e $$w=\sum^{n}_{j=1}\beta_{j}u_{j}$$.

Tem-se :\[<v,w>=<\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}u_{i};\sum^{n}_{j=1}\beta_{j}u_{j}> =\sum^{n}_{i,j}\alpha_{i}\beta_{j}<u_{i};u_{j}>\].

O último termo reduz-se a $$\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}\beta_{j}$$, pois, por hipótese, $$<u_{s};u_{s}>=1$$ e $$<u_{r};u_{r}>=0$$, para $$r\neq s$$.

 

Ademais, $$<v,u_{s}>=<\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}u_{i};u_{s}>=\alpha_{s}$$ e $$<w,u_{s}>=<\sum^{n}_{j=1}\beta_{j}u_{j};u_{s}>=\beta_{s}$$

 

Daqui, portanto, conclui-se que $$<v,w>=\sum^{n}_{i=1}\alpha_{i}\beta_{j}=\sum^{n}_{i=1}<v,u_{i}>\cdot <w,u_{i}>$$.

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