Álgebra Linear – Produto Interno (exercício 2)

Questão

Seja $$< , >$$ um produto interno no espaço vetorial $$F$$. Dado um isomorfismo $$A:E\longrightarrow F$$, ponha $$[u,v]=<Au,Av>$$ para quaisquer $$u,v\in E$$. Prove que $$[ , ]$$ é um produto interno em $$E$$.

Solução: Serão verificados todos os axiomas de produto interno.

1) Seja $$u\neq 0$$, é certo que $$Au\neq 0$$, pois $$A$$ é um isomorfismo. Porque $$< , >$$ é um produto interno, é certo que $$[u,u] = <Au, Au> > 0$$.

2) Seja $$\alpha \neq 0$$, $$[\alpha\cdot u, v] = <A(\alpha u) , Av> = <\alpha\cdot Au, Av>=\alpha\cdot <Au,Av> = \alpha\cdot [u,v]$$.

3) $$[u+u’,v]=<A(u+u’),Av>=<Au + Au’,Av>=<Au,Av> + <Au’,Av>=[u,v] + [u’, v]$$.

4) $$[u,v] = <Au,Av>=<Av,Au>=[v,u]$$.

Nota-se, portanto, que $$[ , ]$$ é um produto interno no espaço $$E$$.

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