Álgebra Linear – Projeção (exercício 1)

Questão 1

Suponha que o espaço vetorial de dimensão finita $$E$$ admita a decomposição $$E=\bigoplus_{j=1}^{k} F_{j}$$, como soma direta de subespaços vetoriais. Para cada $$i\in\{1,2…,k\}$$, escreva $$G_{i}=\bigoplus_{j=1,j\neq i}^{k}F_{j}$$ e chame $$P_{i}:E\longrightarrow E$$ de projeção sobre $$F_{i}$$, paralelamente a $$G_{i}$$. Prove que $$P_{1}+…+P_{k}=I$$ e $$P_{s}P_{j}=0$$, para $$s\neq j$$.

Solução:

Por hipótese, para todo $$x\in E$$, há a decomposição única $$x=v_{1}+…+v_{k}$$, em que $$v_{j}\in F_{j}$$. Além disso, $$P_{j}(x)=v_{j}$$, dado que a decomposição existe e é única.

Daqui, podemos calcular a soma das projeções.

$$(P_{1}+…+P_{k})(x)=P_{1}(x)+…+P_{k}(x)= v_{1}+…+v_{k}=x$$. Isso prova que $$P_{1}+…+P_{k}=I$$.

Ademais, $$P_{s}P_{j}=P_{s}(P_{j}(x))=P_{s}(v_{j})=0$$, pois $$v_{j}$$ tem a seguinte decomposição: $$v_{j}=0+…+v_{j}+…+0$$.


Referência

Lima, Elon Lages- Álgebra Linear – 9ª Edição – Rio de Janeiro – IMPA

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