Álgebra Linear – Sistemas Lineares Homogêneos(Teorema)

Teorema: Seja uma matriz $$A\in\mathcal{M}({\mathbb{R}})_{m\times n}$$, com $$m<n$$. Então o sistema linear $$Ax=0$$ admite uma solução não trivial (não nula).

Demonstração:

Passo 1

Por indução, faremos para $$n=1$$. Neste caso, existe apenas a equação $$b_{1 1}x_{1}+…+b_{1 n}x_{n}=0$$. Isolando $$x_{n}$$, obtemos

\[x_{n}=\frac{-1}{b_{1 n}}\cdot (b_{1 1}x_{1}+…+b_{1 n-1}x_{n-1})\].

Atribuindo valores específicos, por exemplo: $$x_{1}=x_{2}=…=x_{n-2}=0$$ e $$x_{n-1}=1$$, obtemos a solução não trivial:

\[x=(0,…,1,\frac{-b_{1 n-2}}{b_{1 n}})\]

Passo 2:

Assumimos que a hipótese de indução é válida para matrizes $$m-1 \times n-1$$, com $$m<n$$. Vamos provar que o sistema $$m \times n$$ também tem solução não trivial. Agora, temos o sistema com $$m$$ equações nas linhas $$i$$, como a seguir:

\[b_{i 1}x_{1}+…+b_{i n}x_{n}=0\]

Isolando $$x_{n}$$ na última linha, temos:

\[x_{n}=\frac{-1}{b_{m n}}\cdot (b_{m 1}x_{1}+…+b_{m n-1}x_{n-1})\].

Substituindo este valor em todas as $$m-1$$ equações anteriores, obtemos um sistema $$m-1 \times n-1$$, na forma $$Ax=0$$, o qual, por hipótese de indução, tem solução não trivial. Portanto o sistema $$m\times n$$ também tem solução, dado que $$x_{n}$$ será calculado pelos valores obtidos de $$x_{1},..,x_{n}$$ no sistema $$m-1\times n-1$$, sendo um deles diferente de zero.

Observação: Podemos assumir que as $$m$$ linhas são linearmente independentes. Caso não fossem, teríamos um número $$p$$ de linhas L.I, de modo que $$p<m<n$$. Então aplicaríamos o mesmo procedimento para o sistema $$p\times n$$, com $$p<n$$.

Corolário: Um sistema homogêneo $$m\times n$$ subdeterminado ($$m<n$$) tem infinitas soluções.