Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (Exercício 3)

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Questão

Sejam $$F_{1}$$ e $$F_{2}$$ subespaços vetoriais de $$E$$. Se existir algum $$a\in E$$, para o qual $$a+F_{1}=F_{2}$$, prove que $$F_{1}\subset F_{2}$$.

Solução:

Por definição, $$a+F_{1}=\{a+v; v\in F_{1}\}$$.

Assim, $$a+0=a\in F_{2}$$, pois $$0\in F_{1}$$ (subespaço vetorial).

Além disso, $$a+v+w\in F_{2}$$, para todo $$w\in F_{2}$$ e $$v\in F_{1}$$.

Em particular, pondo $$w=-a$$, teremos $$a+v-a=v\in F_{2}$$, para todo $$v\in F_{1}$$, logo $$F_{1}\subset F_{2}$$.

Referências

[1] – Lima,L. Elon – Álgebra Linear

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