Álgebra Linear – Transformações Lineares (continuação)

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Questão

Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão $$n$$. Para todo $$k\in\{2,3,…n\}$$, exiba um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$ tal que $$A^{k}=0$$, mas $$A^{j}\neq )$$, para $$j<k$$.

Solução:

Podemos trabalhar com a permutação de coordenadas de vetores da base, uma ação do grupo permutação neste espaço vetorial.

Caso $$n=2$$. Seja a base do espaço igual a $$\{v_{1},v_{2}\}$$. Seja um vetor $$w\in E$$, então $$w=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}$$, para alguns $$\alpha_{1,2}$$.

Seja $$A$$ que opere do seguinte modo:

$$\alpha_{1}v_{1}\mapsto \alpha_{2}v_{1}$$;

$$\alpha_{2}v_{2}\mapsto 0v_{2}$$.

O operador está zerando a coordenada de $$w$$ para o segundo vetor da base e está jogando a coordenada do segundo vetor no primeiro vetor.

Agora, façamos $$A^{2}$$.

$$\alpha_{2}v_{1}\mapsto 0\cdot v_{1}$$;

$$0\cdot v_{2}\mapsto 0v_{2}$$.

Isto mostra que o operador $$A^{2}=0$$.

Para o caso geral, basta fazer o seguinte operador, para $$w=\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{n}v_{n}$$: $$A(w) = \alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{n-1}v_{n-1}$$. Isto é, ele anula a última coordenada. Operador projeção.

 


Questão

LP_aulasemdobro

Seja $$v$$ um vetor não-nulo de um espaço vetorial $$E$$, de dimensão finita. Dado qualquer espaço vetorial $$F\neq\{0\}$$, mostre que existe uma transformação linear $$A:E\longrightarrow F$$ tal que $$Av\neq 0$$.

Solução: 

Seja $$v=\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{n}v_{n}$$, para alguma base de elementos $$v_{i}$$ e para alguns escalares $$alpha_{i}$$. Suponha que um destes escalares não seja nulo — digamos que seja $$\alpha_{1}\neq 0$$.

Podemos tomar uma transformação que associa $$v$$, no seguinte modo:

$$v\mapsto \alpha_{1}v_{1}$$.

Com efeito, esta relação está bem-definida e é linear. Se $$v=w\Longrightarrow v=w=\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{n}v_{n}$$. Logo $$w\mapsto \alpha_{1}v_{1}$$ e $$v\mapsto\alpha_{1}v_{1}$$.

É fácil ver que a relação é linear.


Questão

Seja

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