Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 4)

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Questão

Sejam $$A,P: E\longrightarrow E$$ operadores lineares não-nulos tais que $$AP=0$$. Prove que existem vetores não-nulos $$u\neq v$$ com $$Au=Av$$.

Solução:

Existe $$x\in E$$, não-nulo, tal que $$P(x)\neq 0$$. Seja $$\lambda$$ um escalar não-nulo. Teremos $$P(\lambda x)\neq P(x)$$. Por outro lado, da hipótese, $$A(P(x))=A(P(\lambda\cdot x))$$; reescrevendo noutras palavras, $$A(u)=A(v)$$, embora $$P(x)=v\neq u = P(\lambda\cdot x)$$.


Questão

Seja $$X: V\longrightarrow W$$ uma transformação linear tal que $$Xv\neq 0$$, para todo $$v\neq 0$$ em $$V$$. Prove que, se $$A,B\in\mathcal{L}(V;W)$$ cumprem $$XA=XB$$, então $$A=B$$.

Solução:

Com efeito, suponha a existência de $$u\in V$$ tal que $$A(u)\neq B(u)$$. Por hipótese, ainda teremos $$X(A(u))=X(B(u))$$, o que implica em $$X(A(u)-B(u))=0$$. Novamente, por hipótese, isto só será possível com $$A(u)-B(u)=0$$, logo chegaremos a um resultado — $$A(u)=B(u)$$ — que contradirá nosso ponto de partida. Portanto não se pode admitir $$u$$ na condição assumida. Isto comprova a propriedade.


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