Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 5)

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Exercício

Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$, defina o novo operador $$T_{A}:\mathcal{L}(E)\longrightarrow\mathcal{L}(E)$$, pondo $$T_{A}=AX$$, para todo $$X\in\mathcal{L}(E)$$. Prove que $$T_{A}$$ é invertível se, e somente se, $$A$$ é invertível.

Solução:

i) Partiremos da informação de que $$A$$ é invertível. A fim de que $$(AX)(v)=\mathbb{0}(v)$$, teremos a seguinte expressão:

\[(AX)(v)=A(X(v))=\mathbb{0}(v)\].

Por hipótese, $$A$$ é injetiva, logo $$X(v)=0$$, dado que $$A(X(v))=0$$. Como a expressão é válida para todo $$v\in E$$, o operador $$X$$ deve ser identicamente nulo.

Provamos que $$T_{A}=0$$ se, e somente se, $$X$$ é nulo. Mais ainda: $$T_{A}$$ é um operador linear, portanto a função ser injetiva implica em ser sobrejetiva.

ii) Dado $$T_{A}$$ injetiva (sobrejetiva), temos $$AX=0$$ se, e somente se, $$X=0$$. Supondo a existência de $$v\neq 0$$ em $$E$$ tal que $$A(v)=0$$, então existiriam $$X$$ e $$w$$, com $$X(w)=v$$, de modo que $$A(X(w))=0$$. Isso contraria a hipótese de que $$T_{A}$$ é bijetora, portanto é obrigatório que $$A$$ seja bijetora.

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