Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 6)

Sejam $$A: U\longrightarrow W$$ e $$B: V\longrightarrow U$$ duas transformações lineares sobre espaços vetoriais de dimensão finita. Prove as afirmações a seguir.

a) $$dim(\mathcal{N}(AB))=dim(\mathcal{N}(B)) + dim(\mathcal{Im}(B)\cap\mathcal{N}(A))$$.

b) $$dim(\mathcal{Im}(AB))=dim(\mathcal{Im}(B))-dim(\mathcal{Im}(B)\cap\mathcal{N}(A))$$.

Solução:

a) Dada uma base de $$V$$ igual a $$\{v_{1},..,v_{n}\}$$, parte dela é base do núcleo de $$B$$. Digamos que $$\mathcal{N}(B)=span\{v_{1},…,v_{k}\}$$.

É fato que $$\mathcal{N}(B)\subset\mathcal{N}(AB)$$, pois, se $$Bx=0$$, obviamente $$ABx=0$$. Mas há elementos em $$\mathcal{N}(AB)$$ que não anulam $$B$$. Além disso, $$\mathcal{N}(AB)\subset V$$ e é subespaço deste.

É possível, portanto, identificar a base de $$\mathcal{N}(AB)$$ como $$\{v_{1},…,v_{k},v_{k+1},..,v_{k+r}\}$$.

Consequentemente, $$\mathcal{Im}(B)=span\{Bv_{k+1},…,Bv_{n}\}$$, em que todos os seus elementos são linearmente independentes (da hipótese da base de $$V$$ e do fato de que estes elementos não anulam $$B$$).

Afirmação: $$\mathcal{Im}(B)\cap\mathcal{N}(A) = span\{v_{k+1},..,v_{k+r}\}$$.

Com efeito, $$x\in \mathcal{Im}(B)\cap\mathcal{N}(A) \Longleftrightarrow Ax=0$$ e $$x = \alpha_{k+1}Bv_{k+1}+…+\alpha_{n}Bv_{n}$$.

Da hipótese, o conjunto $$\{v_{k+r+1},…v_{n}\}$$ não anula $$AB$$, portanto, a fim de que $$Ax=0$$, é necessário que $$\alpha_{k+r+1}=…=\alpha_{n}=0$$. Daqui, $$x = \alpha_{k+1}Bv_{k+1}+…+\alpha_{k+r}Bv_{k+r}$$. Por causa da expressão e da independência linear dos elementos, $$dim(\mathcal{Im}(B)\cap\mathcal{N}(A))= r-k = dim (\mathcal{N}(AB))-dim(\mathcal{N}(B))$$.

 

b) Pelo teorema do núcleo e da imagem, $$dim(\mathcal{Im}(AB))+dim(\mathcal{N}(AB))=n = dim(\mathcal{Im}(B))+dim(\mathcal{N}(B))$$. Reformulando a equação e adicionando o fato do item (a), chegamos à expressão desejada, conforme se segue:

\[dim(\mathcal{Im}(AB))= -dim(\mathcal{N}(AB)) + dim(\mathcal{Im}(B))+dim(\mathcal{N}(B)) = dim(\mathcal{Im}(B))-dim(\mathcal{Im}(B)\cap\mathcal{N}(A))\].

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