Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 7)

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Exercício

Se os vetores $$v_{1},…,v_{m}\in E$$ geram um subespaço vetorial de dimensão $$r$$, prove que o conjunto dos vetores $$(\alpha_{1},…,\alpha_{m})\in\mathbb{R}^{m}$$ tais que $$\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{m}v_{m}=0$$ é um subespaço vetorial de $$\mathbb{R}^{m}$$ com dimensão $$m-r$$.

Solução:

Definimos a transformação linear $$\phi:\mathbb{R}^{m}\longrightarrow E$$ com $$\phi((\alpha_{1},…,\alpha_{m}))=\alpha_{1}v_{1}+…\alpha_{m}v_{m}$$.

Note que subespaço imagem de $$\phi$$ é o subespaço gerado pelos vetores indicados inicialmente. Consequentemente, a dimensão deste subespaço é $$r$$, por hipótese do exercício.

Aplicando o teorema do Núcleo e da Imagem, temos:

\[m=dim(\mathbb{R}^{m})=dim(\mathcal{N}(\phi))+r\Longrightarrow dim(\mathcal{N}(\phi))= m -r\].

Obtivemos, portanto, a dimensão do subespaço que anula a transformação $$\phi$$, uma vez que aquele espaço é, exatamente, o núcleo de tal aplicação.

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