Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 8)

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Exercício

Seja $$\varphi$$ um operador linear, sobre o espaço vetorial $$V$$, tal que $$\varphi^{2}=I_{d}$$ (identidade). Mostre que $$V=U\oplus W$$,com $$U=\{v\in V;\varphi(v)=v\}$$, e $$W=\{v\in  V;\varphi(v)=-v\}$$.

Solução:

$$U$$ e $$W$$ são subespaços vetoriais de $$V$$ porque $$\varphi^{2}=I_{d}$$. Com efeito, tivéssemos $$v\in W$$, $$\varphi(\varphi(v))=\varphi(-v)=v$$. Do contrário, ter-se-ia $$\varphi(-v)=-v$$, fazendo com que $$-v\in U$$ — um absurdo, para ser $$W$$ um subespaço vetorial.

Consequentemente, se $$v\in U\cap W$$, $$\varphi(v)=v=-v$$, portanto $$v=0$$. Isto mostra que a interseção dos subespaços é apenas o elemento neutro.

Por fim, seja $$v\in V$$. Podemos escrever $$\varphi(v)=v+0$$, se $$v\in U$$. Esta é uma decomposição única do elemento $$v$$ em soma de dois elementos $$v\in U$$ e $$0\in W$$. O raciocínio é análogo para $$v\in W$$. Provamos que $$V=U+W$$.

Como a interseção é nula, é fato que $$V=U\oplus W$$.


Referência:

James and Liebeck – Representations and characters of finite groups

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Bud - 300 x 250