Álgebra Linear – Uma demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem

Para a demonstração, assume-se o conhecimento sobre classes equivalência em álgebra linear.

Teorema: Sejam dois espaços de dimensão finita $$V$$ e $$W$$. Seja $$\tau\in\mathcal{L}(V;W)$$, uma transformação linear. Então $$dim(\tau(V))+dim(ker(\tau))=dim(V)$$.

Lema: Seja $$V$$ um espaço de dimensão finita, e seja $$S$$ um subespaço de $$V$$. Então $$dim(V/S)=dim(V)-dim(S)$$.

Demonstração (Lema): Seja $$n=dim(V)$$, e seja $$r=dim(S)$$. Provaremos que o conjunto das classes de equivalência (espaço vetorial com as operações definidas sobre as classes) é combinação linear de elementos do conjunto $$\{v_{i}+S\}_{i=1}^{n-q}$$ e o conjunto é linearmente independente.

Com efeito, seja $$v\in V$$, é certo que existem escalares tais que $$v=\sum^{n}_{i=1}a_{i}v_{i}$$. Dada uma classe $$v+S$$, faz-se $$v+S=\sum^{n}_{i=1}a_{i}v_{i} +S = \sum^{n}_{i=1}(a_{i}v_{i}+S)$$, pela associatividade da operação no espaço quociente.

Se $$v_{i}\in S$$, é certo que $$v_{i}+S=S$$. Portanto a equação anterior reduz-se à $$\sum^{n-r}_{i=1}(a_{i}v_{i}+S)$$, isto é, retiramos os $$r$$ elementos que fazem parte da base de $$S$$. Sem perda de generalidade, assumimos que $$v_{1},…v_{n-q}$$ são os elementos que não participam da base de $$S$$

Aqui, provamos que as classes de equivalência são geradas pelas combinações lineares de elementos em $$\{v_{i}+S\}_{i=1}^{n-q}$$. Provaremos que o conjunto é linearmente independente.

De fato, sabemos que o elemento neutro do espaço quociente é o próprio $$S$$. Assim, encontremos os escalares $$a_{i}$$, para os quais $$(a_{1}v_{1}+S)+…+ (a_{n-r}v_{r}+S) = S$$. Pela associatividade, equivale a $$a_{1}v_{1}+…+a_{n-r}v_{n-r}+S=S$$.

Pela definição da classe da equivalência, $$v+S=S\Longleftrightarrow s\in S$$, então é certo que $$a_{i}=0$$, para $$i=1,…n-r$$, porque $$v_{i}\notin S$$.

Demonstramos que $$dim(V/S)=n-r=dim(V)-dim(S)$$.


Demonstração (Teorema do Núcleo e da Imagem): Pelo teorema do Isomorfismo, sabemos que $$\tau(V)\sim \frac{V}{ker(\tau)}$$, portanto $$dim(\tau(V))=dim(V/ker(\tau))$$. Mas este último é igual à expressão $$dim(V)-dim(ker(\tau))$$, dado o lema exibido.

Daqui, $$dim(\tau(V))+dim(ker(\tau))=dim(V)$$.