Análise Matemática – Continuidade de funções (exercício 1)

Seja $$f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$$ contínua. Prove que, se $$f(x)=0$$, para todo $$x\in X$$, é certo que $$f(x)=0$$, para todo $$x\in\bar{X}$$.

Solução:

Seja $$x\in\bar{X}$$, e seja $$f(x)=c$$. Por hipótese da continuidade, dado $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que, se $$p\in (x-\delta ; x+\delta)$$, é verdade que $$f(p)\in (c-\epsilon ; c+\epsilon)$$.

Além disso, dado que $$x\in\bar{X}$$, sempre haverá $$p\in (x-\delta ; x+\delta)$$, tal que $$p\in X$$, isto é, $$f(p)=0$$. Deste modo, para todo $$\epsilon>0$$, haverá p naquele intervalo tal que $$|c|<\epsilon$$.

Se $$c\neq 0$$, basta tomar $$\epsilon = c/3$$, a fim de observar que a afirmação é absurda, senão ter-se-ia $$c<c/3$$. Portanto é fácil ver que $$c=0$$.

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