Análise Matemática – Sequências (exercício 1)

Exercício

Se $$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$$, então $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$. Dê um contraexemplo, monstrando que a recíproca é falsa, salvo quando $$a=0$$.

Solução:

Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, para o qual, se $$n>n_{0}$$, tem-se: $$|x_{n}-a|<\epsilon$$.

Sabemos que a seguinte desigualdade é válida:

\[||x_{n}|-|a||\leq|x_{n}-a|\].

Portanto a sentença é mantida:

Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, para $$n>n_{0}$$, tem-se: $$|x_{n}|-|a|<|x_{n}-a|<\epsilon$$.

Portanto $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$.

Observação: se tomarmos a sequência $$x_{n}=\{-1,1,-1,1,-1…\}$$, observamos que a sequência não possui limite, porém a sequência $$|x_{n}|=1$$, isto é, possui limite. Neste caso, temos:

$$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|-1|=1$$, mas \lim_{n\to\infty}x_{n}\neq 1$$.

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