Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Espaços Métricos (exercício 2)

Exercício Seja $$d: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}$$ uma função tal que $$d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$$ e $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(z,y)$$. Prove que $$d$$ é uma métrica. Solução: a) Provaremos que $$d(x,y)>0$$, para $$x\neq y$$. De fato, utilizando as duas propriedades do enunciado, para $$z=x$$, temos: \[0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(x,y)\Longrightarrow 0\leq 2\cdot d(x,y)\Longrightarrow 0\leq d(x,y)\]. Por hipótese Leia mais…

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Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Espaços Métricos (exercício 1)

Exercício Dada uma sequência de pontos, $$(x_{1},…,x_{n})$$, num espaço métrico $$(S,d)$$, prove que $$d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+…+d(x_{n-1},x_{n})$$. Solução: Provemos que a desigualdade é válida para $$n=4$$, com a Desigualdade Triangular. Com efeito, sabemos que: $$d(x_{1},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{4})$$; $$d(x_{2},x_{4})\leq d(x_{2},x_{3})+d(x_{3},x_{4})$$. Substituindo a segunda desigualdade na primeira, obtemos a expressão a seguir: \[d(x_{1},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{4})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+d(x_{3},x_{4})\]. Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 8)

Questões anteriores Exercício Seja $$\varphi$$ um operador linear, sobre o espaço vetorial $$V$$, tal que $$\varphi^{2}=I_{d}$$ (identidade). Mostre que $$V=U\oplus W$$,com $$U=\{v\in V;\varphi(v)=v\}$$, e $$W=\{v\in  V;\varphi(v)=-v\}$$. Solução: $$U$$ e $$W$$ são subespaços vetoriais de $$V$$ porque $$\varphi^{2}=I_{d}$$. Com efeito, tivéssemos $$v\in W$$, $$\varphi(\varphi(v))=\varphi(-v)=v$$. Do contrário, ter-se-ia $$\varphi(-v)=-v$$, fazendo com que Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercícios 2)

Questões Anteriores Exercício Seja $$f^{*}:\mathbb{R}\longrightarrow E$$ a adjunta do funcional linear $$f: E\longrightarrow \mathbb{R}$$. Prove que $$v=f^{*}(1)$$ é vetor de $$E$$ que corresponde a $$f$$ pelo isomorfismo do teorema da representação de Riesz. Prove ainda que $$f(f^{*}(1))=|v|^{2}$$ e $$f^{*}(f(w))=<w;v>v$$, para todo $$w\in E$$. Solução: Da propriedade adjunta, $$f(w)\cdot 1 = Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 7)

Questões anteriores Exercício Se os vetores $$v_{1},…,v_{m}\in E$$ geram um subespaço vetorial de dimensão $$r$$, prove que o conjunto dos vetores $$(\alpha_{1},…,\alpha_{m})\in\mathbb{R}^{m}$$ tais que $$\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{m}v_{m}=0$$ é um subespaço vetorial de $$\mathbb{R}^{m}$$ com dimensão $$m-r$$. Solução: Definimos a transformação linear $$\phi:\mathbb{R}^{m}\longrightarrow E$$ com $$\phi((\alpha_{1},…,\alpha_{m}))=\alpha_{1}v_{1}+…\alpha_{m}v_{m}$$. Note que subespaço imagem de $$\phi$$ é Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 5)

Questões Anteriores Exercício Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$, defina o novo operador $$T_{A}:\mathcal{L}(E)\longrightarrow\mathcal{L}(E)$$, pondo $$T_{A}=AX$$, para todo $$X\in\mathcal{L}(E)$$. Prove que $$T_{A}$$ é invertível se, e somente se, $$A$$ é invertível. Solução: i) Partiremos da informação de que $$A$$ é invertível. A Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 4)

Questões anteriores Questão Sejam $$A,P: E\longrightarrow E$$ operadores lineares não-nulos tais que $$AP=0$$. Prove que existem vetores não-nulos $$u\neq v$$ com $$Au=Av$$. Solução: Existe $$x\in E$$, não-nulo, tal que $$P(x)\neq 0$$. Seja $$\lambda$$ um escalar não-nulo. Teremos $$P(\lambda x)\neq P(x)$$. Por outro lado, da hipótese, $$A(P(x))=A(P(\lambda\cdot x))$$; reescrevendo noutras palavras, Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 3)

Questões anteriores Questão Seja $$C(A)$$ o conjunto dos operadores lineares $$X: E\longrightarrow E$$ que comutam com o operador $$A\in\mathcal{L}(E)$$, isto é, $$XA=AX$$. Prove que $$C(A)$$ é um subespaço vetorial de $$\mathcal{L}(E)$$ e que, para $$X,Y\in C(A)$$, tem-se $$XY\in C(A)$$. Solução: Sejam $$X,Y\in C(A)$$. Façamos a operação distributiva à direita: $$A(X+Y)=AX+AY$$. Leia mais…

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Álgebra de Anéis: Homomorfismo de Anéis (exercícios)

Questão Seja $$\phi: A_{1}\longrightarrow A_{2}$$ um homomorfismo de anéis. Seja $$I$$ um ideal de $$A_{1}$$ contido no $$ker(\phi)$$. Mostre que a aplicação: $$\bar{\phi}: A_{1}/I\longrightarrow A_{2}$$; $$\bar{a}\mapsto \phi(a)$$; é um homomorfismo de anéis, chamado de homomorfismo induzido. Solução: Demonstremos que a função é bem-definida, em duas etapas: 1.i) Se $$\bar{a}=\bar{b}$$, então Leia mais…

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