Cálculo Diferencial e Integral I – Conservação de Energia

Exercício

Uma partícula de massa m desloca-se sobre uma reta real sob ação do campo de forças f , onde f é uma função contínua R → R (isso significa que, para cada x ∈ R, quando a partícula estiver no ponto de abscissa x, a força que atua sobre ela é f(x)).

Seja V uma função derivável R → R tal que, para todo x ∈ R,  $$V′ (x)=-f(x)$$ (diz-se que a força F “deriva do potencial V”). Seja x : I → R a função horária da partícula, definida no intervalo I ⊂ R (i.e. para cada instante t ∈ I, x(t) ∈ R é a posição da partícula no referido instante).

Assuma que o movimento da partícula é governado pela lei de Newton:

\[mx” (t)=f(x(t))\]

Demonstre que existe uma constante E ∈ R tal que, para todo t ∈ I

\[\frac{1}{2}m(x’)^{2}+V(x(t))=E\]

Exercício retirado neste link.

Solução:

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