[Cálculo Diferencial/Integral I] – Limites de Funções

Definição de Limite e Continuidade

Definição: Dizemos que a função tem limite, e que o limite é igual a $$L$$, no ponto $$x_{0}\in A$$, se, dado ε>0, existe δ>0 tal que, se $$|x-x_{0}|<\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$.

Escrevemos, portanto, $$\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L$$.

Definição: Dizemos que a função é contínua no ponto $$x_{0}$$, se existir o limite naquele ponto e, se valer a propriedade $$lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$$.

Teoremas e Regras Operacionais

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Teorema: Sejam as funções $$f,g:A\longrightarrow \mathbb{R}$$. Se $$\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L$$ e $$\lim_{x\to x_{0}}g(x)=R$$, então valem as seguintes propriedades:
i) $$\lim_{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=L\pm R$$
ii) $$\lim_{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=L\cdot R$$
iii) $$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{R}$$, apenas quando $$R\neq 0$$.

Exercícios

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As resoluções encontram-se logo após o respectivo enunciado.

1) Calcule e justifique

a) $$\lim_{x\to 2}x^{2}$$       b)$$\lim_{x\to 1}3x+1$$       c)$$\lim_{x\to 10}5$$       d) $$\lim_{x\to -1}-x^{2}-2x+3$$       e)$$\lim_{z\to 2}z^{3}+8$$

f) $$\lim_{x\to 3}\frac{4x-5}{5x-1}$$       g)$$\lim_{x\to -1}\frac{2x+1}{x^{2}-3x+4}$$       h) $$\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x+3}$$       i) $$\lim_{x\to 4}\sqrt{x}$$       j) $$\lim_{x\to -3}\sqrt[3]{x}$$

k) $$\lim_{r\to 1}\sqrt{\frac{8r+1}{r+3}}$$       *l) $$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$$       *m) $$\lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}$$

* Solução em vídeo

Solução:

a) A função é contínua, portanto pode-se escrever $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.
$$\lim_{x\to 2}x^{2}=2^{2}=4$$

 

b) Utilizamos a regra da soma e, depois, notamos que ambas as funções são contínuas, aplicando-se, portanto, a regra $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.
$$\lim_{x\to 1}3x+1=\lim_{x\to 1} 3x + \lim_{x\to 1}1=3+1=4$$.

 

c) A função é contínua, portanto pode-se escrever $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.
$$\lim_{x\to 10}5=5$$ $$\lim_{x\to 10}5=5$$

 

d) A função é contínua, portanto pode-se escrever $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.
$$\lim_{x\to -1}-x^{2}-2x+3=-(-1^{2})-2(-1)+3=-1+2+3=4$$

 

e) A função é contínua, portanto pode-se escrever $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.
$$\lim_{z\to 2}z^{3}+8=2^{3}+8=16$$

 

f) As funções da fração são contínuas, então $$\lim_{x\to 3}(5x-1)=5\cdot 3 -1=14\neq 0$$ e $$\lim_{x\to 3}(4x-5)=4\cdot 3 – 5=7$$.

Utilizando a regra do limite do quociente, podemos dividir um limite pelo outro.
$$\lim_{x\to 3}\frac{4x-5}{5x-1}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$$.

g) As funções da fração são contínuas, então $$\lim_{x\to -1}(2x+1)=-1$$ e $$\lim_{x\to -1}(x^{2}-3x+4)=8\neq 0$$.

Utilizando a regra do limite do quociente, podemos dividir um limite pelo outro.
$$\lim_{x\to -1}\frac{2x+1}{x^{2}-3x+4}=\frac{-1}{8}$$.

 

h) As funções da fração são contínuas, então $$\lim_{x\to 3}(x^{2}-9)=0$$ e $$\lim_{x\to 3}(x+3)=6\neq 0$$.

Utilizando a regra do limite do quociente, podemos dividir um limite pelo outro.
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x+3}=\frac{0}{6}=0$$.

 

i) A função é contínua, portanto pode-se escrever $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.

$$\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=\sqrt{4}=2$$.
Observação: o resultado de $$\sqrt{4}$$ é apenas $$2$$. Para que seja função, não se pode ter dois resultados para um único valor no domínio. 

 

j) A função é contínua, portanto pode-se escrever $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.

$$\lim_{x\to -3}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$$.

 

k) A função raiz quadrada é contínua para valores positivos, por isso, é permitido que passemos o limite “para dentro" da raiz quadrada e calculemos a raiz do limite da função quociente. Como as funções do numerador e do denominador são contínuas e $$\lim_{r\to 1}(r+3)=4\neq 0$$, podemos aplicar a regra do limite do quociente.
Para isso, basta calcular $$\lim_{r\to 1}(8r+1)=9$$.
$$\lim_{r\to 1}\sqrt{\frac{8r+1}{r+3}}=\sqrt{\lim_{r\to 1}\frac{8r+1}{r+3}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$$

l) 


m)



2) Nos exercícios a seguir, são dados $$x_{0}$$, $$f(x)$$ e $$L$$, de modo que $$\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L$$. Demonstre, pela definição ε-δ, que o limite existe e tem o valor designado, no ponto dado.
a) $$\lim_{x\to 4}(x-1)=3$$       b) $$\lim_{x\to 3}(2x+4)=10$$       c) $$\lim_{x\to 1}(x^{2}-5)=-4$$

 

Solução:
a) Se impusermos que $$\epsilon=\delta$$, quando for dado o valor de ε, teremos o valor de δ, e a condição a seguir é satisfeita:

\[|x-4|<\delta=\epsilon\Longrightarrow |f(x)-3|=|x-1-3|=|x-4|<\epsilon\].

 

b) Se impusermos que $$\epsilon=\delta$$, quando for dado o valor de ε, teremos o valor de δ, e a condição a seguir é satisfeita:

\[|x-4|<\delta=\epsilon\Longrightarrow |f(x)-3|=|x-1-3|=|x-4|<\epsilon\].

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