[Cálculo Diferencial/Integral I] – Integração por substituição

Olá, pessoal, tudo bem?

Neste tópico do Cálculo Diferencial e Integral I, vamos conversar sobre as integrais por substituição, na seguinte forma:

\[\int f(x(t))dx=\int f(t) x’dt\].

Para isso, consideramos as hipóteses iniciais do problema.

Seja a função $$f(x)$$ integrável no sentido de Riemman, com integral $$F(x)$$. Seja $$g(x)=u$$, com imagem sendo um subconjunto do domínio de $$f(x)$$. Além disso, $$du=g(x)’ dx$$.

Vale o Teorema da Função Composta: $$F(g(x))’=F(g(x))’\cdot g(x)’$$. A partir deste teorema e da hipótese inicial ($$\int f(x) dx=F(x)+K$$), podemos concluir que

\[F(g(x))=\int f(g(x)) dx=\int f(u)\cdot du\]

 

Bem, agora que você já viu como é a teoria para este tipo de integral, vamos conferir alguns exemplos práticos.


 

Exemplo 1: $$\int x\cdot sen(x^{2})dx$$.

A primeira coisa é identificar a função $$g(x)$$ da teoria, ou seja, uma função de composição da função $$f$$ que estamos integrando. Veja que $$f(x)=x\cdot sen(x^{2})$$, então é natural pensar na seguinte composição:

\[f(x)=x\cdot sen(g(x))\], com $$g(x)=x^{2}$$.

Lembrando que precisamos chamar $$g(x)=u$$, a nossa nova variável. E precisamos calcular a relação entre $$du$$ e $$dx$$. Para isso, calculamos a derivada de $$u=g(x)$$.

\[du=g'(x)dx = (x^{2})’ dx =(2x) dx\longrightarrow du=(2x)dx\]

Agora, realizamos um pequeno “truque”, que é correto, do ponto de vista matemático, mas a notação parece ser um pouco ingrata. Queremos isolar o $$dx$$, para substituí-lo por algo com o $$du$$. Então passamos o (2x) “dividindo” o $$du$$ e deixamos o $$dx$$ isolado.

\[du=(2x)dx \Longrightarrow \frac{du}{2x}=dx\].

Esta igualdade é corretíssima, porém a ideia de “passar dividindo” é apenas uma analogia com frações. Na verdade, estamos aplicando o Teorema da Função Inversa para derivadas de funções reais. A função $$u=g(x)$$ é inversa da função $$x(u)$$.

E, pela fórmula (ou teorema) que vimos acima, podemos aplicar a seguinte igualdade

\[\int x\cdot sen(x^{2})dx = \int x\cdot sen(u)\cdot dx =\int x\cdot sen(u) \frac{du}{2x}=\int \frac{sen(u)}{2}du=\]

\[(1/2)\int sen(u) du =(1/2) cos(u) + K = (1/2) + cos(x^{2})+K\].

Viram? Saímos de uma integral aparentemente complicada, para resolvermos uma integral bastante simples, do $$cos(u)$$.


 

Exemplo 2: $$\int x\cdot e^{x^{2}}dx$$.

Temos a nossa $$$f(x)=x\cdot e^{x^{2}}=x\cdot e^{g(x)}$$. Nossa função auxiliar é $$u=g(x)=x^{2}$$, como na função do exemplo anterior.

Portanto já sabemos que $$\frac{du}{2x}=dx$$, pois adotamos os mesmos passos do exemplo anterior, beleza?

Agora, basta aplicar na fórmula que vimos.

\[\int x\cdot e^{x^{2}}dx=\int x\cdot e^{u}\frac{du}{2x}=\int\frac{1}{2}e^{u}du=(1/2)e^{u}+K=(1/2)e^{x^{2}}+K\].

 

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