[Cálculo Diferencial/Integral I] – Limites de Funções Trigonométricas

Funções Trigonométricas e Teorema do Confronto

Teorema 1: As funções $$sen(x)$$ e $$cos(x)$$ são contínuas em todos os pontos de seus domínios.

Teorema 2 (Limite Fundamental): $$\lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{x}=1$$.

Teorema 3 (Confronto): Sejam as funções $$f(x)$$ , $$g(x)$$ e $$h(x)$$ bem definidas em seus domínios, de tal modo que $$f(x)\leq h(x) \leq g(x)$$. Se $$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L$$, então

\[lim_{x\to a}h(x)=L\].


Exercícios

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1. Calcule, se existir, $$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$$, quando $$|f(x)|\leq x^{4}$$.

Solução:

2. Calcule os limites a seguir

a) $$\lim_{x\to 0} \frac{tg(x)}{x}$$

b) $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{sen(x)}$$

c) $$\lim_{x\to 0}\frac{sen(3x)}{x}$$

d) $$\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}$$ , $$p\neq 0$$.

e) $$\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}$$ , $$p\neq 0$$.

Solução:

a) Sabendo que a função $$cos(x)$$ é contínua (Teorema 1), podemos concluir que $$\lim_{x\to 0} cos(x)=cos(0)=1$$, portanto existirá o limite a seguir e terá o seu respectivo resultado: \[\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}=\frac{1}{\lim_{x\to 0}cos(x)}=1\].

Agora, observe que $$\frac{tg(x)}{x}=\frac{sen(x)}{x\cdot cos(x)}=\frac{1}{cos(x)}\frac{sen(x)}{x}$$.

A última expressão tem limite, pois os fatores do produto possuem limites calculáveis. Portanto podemos concluir que

\[\lim_{x\to 0} \frac{tg(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}\cdot\frac{sen(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{cos(x)}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{x}=1\cdot 1=1\]

 

b) Observe que $$\frac{x}{sen(x)}=\frac{1}{\frac{x}{sen(x)}}$$. Além disso, o numerador e o denominador da última expressão possuem limites em $$0$$, portanto existirá o limite a seguir, de modo que

\[\lim_{x\to 0}\frac{x}{sen(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{sen(x)}{x}}=\frac{1}{\lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{x}}=1/1=1\]

c) 

d) Note que, impondo $$u=x-p$$, temos $$\lim_{x\to p}u(x)=0$$. Aplicaremos o Teorema de Limites para Funções Compostas.

\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}=\lim_{x\to p}\frac{sen(u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{sen(u)}{u}=1\]

e) Basta observar que

\[\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}=\frac{sen(x-p)}{x-p}\cdot\frac{1}{(x+p)cos(x-p)}\].

Como o limite das respectivas frações existe (ver exercício anterior) e é diferente de zero, quando $$x\to p$$, podemos escrever assim:

\[\lim_{x\to p}\frac{tg(x-p)}{x^{2}-p^{2}}=\lim_{x\to p}\frac{sen(x-p)}{x-p}\cdot\lim_{x\to p}\frac{1}{(x+p)cos(x-p)}=1\cdot\frac{1}{\lim_{x\to p}(x+p)cos(x-p)}=1\cdot 1=1\]


2. Calcule $$\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}$$.

Solução:

Substituamos o quociente de modo a facilitar nossas contas, fazendo $$u=x-p$$ e $$x=u+p$$. Também usamos o seno da soma de arcos.

\[\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}=\frac{sen(u+p)-sen(p)}{u}=\frac{sen(u)cos(p)+sen(p)[cos(u)-1]}{u}=cos(p)\frac{sen(u)}{u}+sen(p)\frac{cos(u)-1}{u}\]

Note que as duas expressões finais tem limite na variável $$u$$, portanto podemos escrever

\[\lim_{x\to p}\frac{sen(x)-sen(p)}{x-p}=\lim_{u\to 0}cos(p)\frac{sen(u)}{u}+\lim_{u\to 0}sen(p)\frac{cos(u)-1}{u}=cos(p)\cdot 1+sen(p)\cdot 0=cos(p)\]

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