[Cálculo Diferencial/Integral I] – Limites Laterais

_MDF 4

 Definição de Limites Laterais

Consideramos uma função real $$f:A\longrightarrow \mathbb{R}$$, com $$A\subset\mathbb{R}$$, um intervalo.

Definição: Dizemos que a função tem limite à direita, e que o limite é igual a $$L$$, no ponto $$x_{0}\in A$$, se, dado ε>0, existe δ>0 tal que, se $$ x_{0}<x<x_{0}+\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$.

Escrevemos, portanto, $$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L$$.

Este é o limite de $$x\to x_{0}$$, quando $$x$$ encaminha-se ao valor $$x_{0}$$, por valores superiores a $$x_{0}$$, isto é, $$x>x_{0}$$.

 

Definição: Dizemos que a função tem limite à esquerda, e que o limite é igual a $$L$$, no ponto $$x_{0}\in A$$, se, dado ε>0, existe δ>0 tal que, se $$ x_{0}-\delta<x<x_{0}+\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$.

Escrevemos, portanto, $$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L$$.

Este é o limite de $$x\to x_{0}$$, quando $$x$$ encaminha-se ao valor $$x_{0}$$, por valores inferiores a $$x_{0}$$, isto é, $$x<x_{0}$$.

 

TeoremaConsideramos uma função real $$f:A\longrightarrow \mathbb{R}$$, com $$A\subset\mathbb{R}$$, um intervalo. Diz-se que esta função tem limite em $$x_{0}$$, se e somente se:

i) Os limites laterias (à direita e à esquerda) existirem em $$x_{0}$$

ii) Os limites laterais (à direita e à esquerda) no ponto $$x_{0}$$ forem idênticos, isto é, se $$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L=\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)$$. Neste caso, vale $$\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L$$.


Exercícios

1) Calcule os limites, caso existam, e, se não existirem, justifique.

a) $$\lim_{x\to 1^{+}}\frac{|x-1|}{x-1}$$          b) $$\lim_{x\to 1^{-}}\frac{|x-1|}{x-1}$$          c) $$\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1} $$

 

Seja $$f(x)=\left\{\begin{array}{rc} 1-x^{2},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\ 2, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right. $$

d)$$\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$$          e)$$\lim_{x\to 1^{-}} f(x)$$          f)$$\lim_{x\to 1} f(x)$$

Solução:

a) , b) e c)

d), e) e f) Mesmo tendo $$f(1)=2$$, os limites laterais em $$x=1$$ existirão e serão idênticos, pois a função $$1-x^{2}$$ é contínua em todos os pontos.

$$\lim_{x\to 1^{+}} (1-x^{2})=\lim_{x\to 1^{-}} (1-x^{2})=0$$.

A função não será contínua em $$x=1$$, mas o limite existirá.

2) Faça o gráfico das funções a seguir e determine, se existirem, $$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$$, $$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$$ e $$\lim_{x\to 1}f(x)$$

a) $$ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} x^{3},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\0, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right. $$

b) $$ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} 1-x^{2},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\2, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right. $$

Solução:

a)

$$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}x^{3}=\lim_{x\to 1}x^{3}=1$$.

$$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}x^{3}=\lim_{x\to 1}x^{3}=1$$.

 

Portanto existirá o limite a seguir, de modo que

$$\lim_{x\to 1}f(x)=1$$.

 

b)

$$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=0$$.

$$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=1$$.

Portanto existirá o limite a seguir, de modo que

$$\lim_{x\to 1}f(x)=0$$.

 

3) Calcule os limites, caso existam, e, se não existirem, justifique.

a) $$\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$, com $$ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} x^{2},&\mbox{se}\quad x\leq 1,\\2x-1, &\mbox{se}\quad x>1. \end{array}\right. $$

 

b) $$\lim_{x\to 2^{-}} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}$$, com $$ g(x) =\left\{\begin{array}{ll} x,&\mbox{se}\quad x\leq 1,\\\frac{x^{2}}{2}, &\mbox{se}\quad x>1. \end{array}\right. $$

 

Solução:

a) 

b)

Primeiro, note que $$g(2)=\frac{2^{2}}{2}=2$$, pois $$x>1$$.

Agora, como se quer calcular $$\lim_{x\to 2^{-}}\frac{g(x)-2}{x-2}$$, escolhemos $$g(x)=\frac{x^{2}}{2}$$.

Agora, analisamos a fração

\[\frac{g(x)-2}{x-2}=\frac{\frac{x^{2}}{2}-2}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{2(x-2)}=\frac{x+2}{2}\].

Observamos que existe o limite de $$x\to 2$$ para esta última fração, então concluímos que existe o limite requerido e

\[\lim_{x\to 2^{-}}\frac{g(x)-2}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{2}=\frac{\lim_{x\to 2}(x+2)}{2}=2\]

4)

Seja $$f$$ uma função definida num intervalo aberto $$I$$, e $$p\in I$$. Suponha que $$f(x)\leq f(p)$$, para todo $$x\in I$$. Prove que $$\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$$, desde que o limite exista.

Solução:

Supondo que exista aquele limite, analisamos os sinais dos respectivos limites laterais.

$$0\leq\lim_{x\to p^{-}}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$$, pois o numerador é negativo, $$f(x)-f(p)\leq 0$$, e o denominador é negativo. Lembre-se de que $$x<p$$, portanto $$x-p\leq 0$$.

$$\lim_{x\to p^{-}}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\leq 0$$, pois o numerador é negativo, $$f(x)-f(p)\leq 0$$, e o denominador é positivo. Lembre-se de que $$x>p$$, portanto $$0\leq x-p$$.

Por hipótese, como o limite existe, os limites laterais existem e devem ser iguais, além de serem iguais ao próprio limite. Como cada um dos limites laterais tem sinais contrários ou pode ser igual a zero, resta-nos apenas a opção em que todos são iguais a 0.

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