Álgebra Linear

Álgebra Linear – Base e Dimensão (Exercício 2)

Questão Sejam $$u,v\in E$$, vetores linearmente independentes. Dado $$\alpha\neq 0$$, prove que o conjunto de dois elementos $$\{v,v+\alpha u\}$$ é uma base do subespaço gerado pelos vetores $$v,v+u,v+2u,…$$. Solução: Podemos escrever os vetores do referido conjunto, para algum$$k\in\mathbb{N}$$, da forma: \[v+ku=av+b(v+\alpha u)=av+bv+b\alpha u\]. Com os escalares reais $$a$$ e $$b$$. Leia mais…

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Álgebra Linear – Base e Dimensão (Exercício 1)

Questão Seja $$E=F_{1}\oplus F_{2}$$. Se $$\mathcal{B}_{1}$$ é uma base de $$F_{1}$$, e $$\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$F_{2}$$, prove que $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$E$$. Solução: Seja $$\mathcal{B}_{1}=\{w_{1},…,w_{k}\}$$, e seja $$\mathcal{B}_{2}=\{u_{1},…,u_{r}\}$$. Da hipótese, sabemos que todo vetor $$v$$ de $$E$$ é escrito de maneira única como soma de $$w\in Leia mais…

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Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (Exercício 3)

Questões Anteriores Questão Sejam $$F_{1}$$ e $$F_{2}$$ subespaços vetoriais de $$E$$. Se existir algum $$a\in E$$, para o qual $$a+F_{1}=F_{2}$$, prove que $$F_{1}\subset F_{2}$$. Solução: Por definição, $$a+F_{1}=\{a+v; v\in F_{1}\}$$. Assim, $$a+0=a\in F_{2}$$, pois $$0\in F_{1}$$ (subespaço vetorial). Além disso, $$a+v+w\in F_{2}$$, para todo $$w\in F_{2}$$ e $$v\in F_{1}$$. Em Leia mais…

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Álgebra Linear – Espaços Vetoriais

Olá, pessoal. Neste artigo, discutiremos os Espaços Vetoriais, o primeiro conteúdo ensinado nos cursos de Álgebra Linear para graduação. Um conjunto $$\mathbb{V}\neq \varnothing$$ é dito ser um espaço vetorial sobre um corpo algébrico $$\mathbb{K}$$, se existirem as seguintes operações: 1. \[ \left\{ \begin{array}{lc} +: & \mathbb{V}\times\mathbb{V}\to\mathbb{V} \\ \;& \;(v,w)\mapsto v+w. Leia mais…

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