Álgebra

Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 7)

Questões anteriores Exercício Se os vetores $$v_{1},…,v_{m}\in E$$ geram um subespaço vetorial de dimensão $$r$$, prove que o conjunto dos vetores $$(\alpha_{1},…,\alpha_{m})\in\mathbb{R}^{m}$$ tais que $$\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{m}v_{m}=0$$ é um subespaço vetorial de $$\mathbb{R}^{m}$$ com dimensão $$m-r$$. Solução: Definimos a transformação linear $$\phi:\mathbb{R}^{m}\longrightarrow E$$ com $$\phi((\alpha_{1},…,\alpha_{m}))=\alpha_{1}v_{1}+…\alpha_{m}v_{m}$$. Note que subespaço imagem de $$\phi$$ é Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 5)

Questões Anteriores Exercício Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$, defina o novo operador $$T_{A}:\mathcal{L}(E)\longrightarrow\mathcal{L}(E)$$, pondo $$T_{A}=AX$$, para todo $$X\in\mathcal{L}(E)$$. Prove que $$T_{A}$$ é invertível se, e somente se, $$A$$ é invertível. Solução: i) Partiremos da informação de que $$A$$ é invertível. A Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 4)

Questões anteriores Questão Sejam $$A,P: E\longrightarrow E$$ operadores lineares não-nulos tais que $$AP=0$$. Prove que existem vetores não-nulos $$u\neq v$$ com $$Au=Av$$. Solução: Existe $$x\in E$$, não-nulo, tal que $$P(x)\neq 0$$. Seja $$\lambda$$ um escalar não-nulo. Teremos $$P(\lambda x)\neq P(x)$$. Por outro lado, da hipótese, $$A(P(x))=A(P(\lambda\cdot x))$$; reescrevendo noutras palavras, Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 3)

Questões anteriores Questão Seja $$C(A)$$ o conjunto dos operadores lineares $$X: E\longrightarrow E$$ que comutam com o operador $$A\in\mathcal{L}(E)$$, isto é, $$XA=AX$$. Prove que $$C(A)$$ é um subespaço vetorial de $$\mathcal{L}(E)$$ e que, para $$X,Y\in C(A)$$, tem-se $$XY\in C(A)$$. Solução: Sejam $$X,Y\in C(A)$$. Façamos a operação distributiva à direita: $$A(X+Y)=AX+AY$$. Leia mais…

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Álgebra de Anéis: Homomorfismo de Anéis (exercícios)

Questão Seja $$\phi: A_{1}\longrightarrow A_{2}$$ um homomorfismo de anéis. Seja $$I$$ um ideal de $$A_{1}$$ contido no $$ker(\phi)$$. Mostre que a aplicação: $$\bar{\phi}: A_{1}/I\longrightarrow A_{2}$$; $$\bar{a}\mapsto \phi(a)$$; é um homomorfismo de anéis, chamado de homomorfismo induzido. Solução: Demonstremos que a função é bem-definida, em duas etapas: 1.i) Se $$\bar{a}=\bar{b}$$, então Leia mais…

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Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercícios)

Questão Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove: i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow F$$ é invertível, e $$A^{*}(AA^{*})^{-1}: F\longrightarrow E$$ é uma inversa à direita de $$A$$. ii) Se $$A$$ é injetiva, então $$A^{*}A: E\longrightarrow E$$ é invertível Leia mais…

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Álgebra de Grupos: Homomorfismos (Exercícios)

  Questão (Propriedades dos Homomorfismos) Seja os grupos $$G$$ e $$H$$, com suas respectivas operações de produto (lei da composição), e seja o homomorfismo $$\phi G\rightarrow H$$. Prove as seguintes propriedades: i) $$\phi (l_{G})=l_{H}$$, sendo $$l$$ o elemento neutro de cada grupo. ii) $$\phi (a_{1}\cdot …\cdot a_{n})=\phi(a_{1})\cdot …\cdot a_{n})$$, $$a_{i}\in Leia mais…

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Álgebra Linear – Transformações Lineares (continuação)

Questões Anteriores Questão Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão $$n$$. Para todo $$k\in\{2,3,…n\}$$, exiba um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$ tal que $$A^{k}=0$$, mas $$A^{j}\neq )$$, para $$j<k$$. Solução: Podemos trabalhar com a permutação de coordenadas de vetores da base, uma ação do grupo permutação neste espaço vetorial. Caso $$n=2$$. Leia mais…

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Álgebra de Grupos: Subgrupos (Exercícios)

  Questão (Lema de Caracterização de Subgrupos) Seja $$H\subset G$$, onde $$G$$ é um grupo. $$H$$ é subgrupo de $$G$$ se, e somente se, para todo $$x,y\in H$$, houvesse $$xy^{-1}\in H$$> Solução: $$(\Longrightarrow)$$: Partamos de que $$H$$ é subgrupo. Então, se $$x,y\in H$$, é óbvio que $$y^{-1}\in H$$, e $$x\cdot Leia mais…

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