Questão Seja $$n$$ um inteiro positivo que não é primo. Mostre que o anel $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$ não é um domínio. Solução: Podemos escolher $$a,b\in\mathbb{Z}$$, distintos e positivos, de modo que $$a\cdot b = n$$, uma vez que $$n$$ não é um número primo (pela teorema de decomposição em números primos, no Leia mais…
Questão Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove: i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow F$$ é invertível, e $$A^{*}(AA^{*})^{-1}: F\longrightarrow E$$ é uma inversa à direita de $$A$$. ii) Se $$A$$ é injetiva, então $$A^{*}A: E\longrightarrow E$$ é invertível Leia mais…
Questão (Propriedades dos Homomorfismos) Seja os grupos $$G$$ e $$H$$, com suas respectivas operações de produto (lei da composição), e seja o homomorfismo $$\phi G\rightarrow H$$. Prove as seguintes propriedades: i) $$\phi (l_{G})=l_{H}$$, sendo $$l$$ o elemento neutro de cada grupo. ii) $$\phi (a_{1}\cdot …\cdot a_{n})=\phi(a_{1})\cdot …\cdot a_{n})$$, $$a_{i}\in Leia mais…
Questões Anteriores Questão Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão $$n$$. Para todo $$k\in\{2,3,…n\}$$, exiba um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$ tal que $$A^{k}=0$$, mas $$A^{j}\neq )$$, para $$j<k$$. Solução: Podemos trabalhar com a permutação de coordenadas de vetores da base, uma ação do grupo permutação neste espaço vetorial. Caso $$n=2$$. Leia mais…
Questão Prove que, para todo $$X\in\mathbb{R}$$, vale $$\overline{X}=X\cup \partial(X)$$. Conclua que $$X$$ é fechado se, e somente se, $$X\supset \partial(X)$$. Solução: Se $$x\in X$$, então é válido, para todo $$\delta >0$$: $$B(x,\delta)\cap \neq\emptyset$$, isso prova que $$X\subset\overline{X}$$. Ainda mais: se $$x\in\partial X$$, então, para todo $$\delta>0$$, tem-se $$B(x,\delta)\cap X\neq\emptyset$$ e $$B(x,\delta)\cap Leia mais…
Observação (notação para a vizinhança de um ponto): $$V_{(\delta)}(x)=\{p\in\mathbb{R}; |x-p|<\delta\}$$. Questão Prove que, para todo $$X\subset\mathbb{R}$$, tem-se $$int(int(X))=int(X)$$ e conclua que $$int(X)$$ é um conjunto aberto. Solução: Suponha que exista $$p\in int(X)$$ tal que $$p\notin int(int(X))$$. Por hipótese, existe $$\epsilon_{0}>0$$ tal que $$V_{\epsilon_{0}}(p)\subset X$$. Pela afirmação feita, ($$p$$ não é Leia mais…
Questão (Lema de Caracterização de Subgrupos) Seja $$H\subset G$$, onde $$G$$ é um grupo. $$H$$ é subgrupo de $$G$$ se, e somente se, para todo $$x,y\in H$$, houvesse $$xy^{-1}\in H$$> Solução: $$(\Longrightarrow)$$: Partamos de que $$H$$ é subgrupo. Então, se $$x,y\in H$$, é óbvio que $$y^{-1}\in H$$, e $$x\cdot Leia mais…
Questão Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$T$$ uma transformação linear de $$V$$ em $$V$$. Demonstrar que as duas afirmações seguintes sobre $$T$$ são equivalentes: (a) A intersecção da imagem de $$T$$ com o núcleo de $$T$$ é o subespaço nulo de $$V$$. (b) Se $$T(T(v))=0_{V}\Longrightarrow T(v)=0_{V}$$. Solução: Seja Leia mais…
Exercício Se $$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$$, então $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$. Dê um contraexemplo, monstrando que a recíproca é falsa, salvo quando $$a=0$$. Solução: Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, para o qual, se $$n>n_{0}$$, tem-se: $$|x_{n}-a|<\epsilon$$. Sabemos que a seguinte desigualdade é válida: \[||x_{n}|-|a||\leq|x_{n}-a|\]. Portanto a sentença é mantida: Por hipótese, sabemos que, Leia mais…
Questão Sejam $$u,v\in E$$, vetores linearmente independentes. Dado $$\alpha\neq 0$$, prove que o conjunto de dois elementos $$\{v,v+\alpha u\}$$ é uma base do subespaço gerado pelos vetores $$v,v+u,v+2u,…$$. Solução: Podemos escrever os vetores do referido conjunto, para algum$$k\in\mathbb{N}$$, da forma: \[v+ku=av+b(v+\alpha u)=av+bv+b\alpha u\]. Com os escalares reais $$a$$ e $$b$$. Leia mais…