Física 1 – Cinemática Escalar (exercício 4)

Questão 8

Halliday, David. 1916-Fundamentos de física. volume I ; mecânica / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker ; tradução e revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. – 8.ed. – Rio de Janeiro ; LTC, 2008 ; capítulo 2.

Para estabelecer um recorde de velocidade em uma distância d (em linha reta), um carro deve percorrer a distância primeiro em um sentido (em um tempo $$t_{1}$$) e depois no sentido oposto (em um tempo $$t_{2}$$). (a) Para eliminar 0 efeito do vento e obter a velocidade do carro $$v_{c }$$ na ausência de vento, devemos calcular a média aritmética de $$d/t_{1}$$ e $$d/t_{2}$$ (método 1) ou devemos dividir
d pela média aritmética de $$t_{1}$$ e $$t_{2}$$? (b) Qual e a diferença percentual dos dois métodos se existe um vento constante na pista e a razão entre a velocidade $$v_{v}$$ do vento e a velocidade $$v_{c}$$ do carro é 0,0240?

Solução:

a) Vamos definir $$v_{1} = v_{c} + v_{v}$$ e $$v_{2} = v_{c} – v_{v}$$, sendo $$v_{1}$$ a velocidade do carro quando está se movendo na mesma direção e sentido do vento e $$v_{2} quando o carro se move na mesma direção e sentido oposto ao vento. Como queremos cancelar a velocidade do vento, basta somar as duas velocidades que definimos.

$$v_{1} + v_{2} = v_{c} + v_{v} + v_{c} – v_{v} \longrightarrow v_{1} + v_{2} = 2 v_{c}$$

Mas $$v_{1} = \frac{d}{t_{1}}$$ e $$v_{2} = \frac{d}{t_{2}}$$. Temos, então

$$\frac{d}{t_{1}} + \frac{d}{t_{2}} = 2 v_{c} \longrightarrow v_{c} = \frac{1}{2}(\frac{d}{t_{1}} + \frac{d}{t_{2}})$$

Sendo assim, deve-se utilizar o método 1.

b) O método 1 pode ser descrito da seguinte forma:

$$v_{c_{1}} = \frac{1}{2}(\frac{d}{t_{1}} + \frac{d}{t_{2}}) \longrightarrow v_{c_{1}} = \frac{v_{1} + V_{2}}{2} \longrightarrow v_{c_{1}} = v_{c}$$

O método 2 será

$$v_{c_{2}} = \frac{2d}{t_{1} + t_{2}} \longrightarrow \frac{1}{v_{c_{2}}} = \frac{t_{1}}{2d} + \frac{t_{2}}{2d} \longrightarrow \frac{1}{v_{c_{2}}} = \frac{1}{2v_{1}} + \frac{1}{2v_{2}} \longrightarrow v_{c_{2}} = \frac{v_{c} ^{2} – v_{v} ^{2}}{v_{c}}$$

Para calcular o percentual, faremos

$$\frac{v_{c_{1}} – v_{c_{2}}}{v_{c_{1}}} = (v_{c} – \frac{v_{c} ^{2} – v_{v} ^{2}}{v_{c}} \longrightarrow \frac{v_{c_{1}} – v_{c_{2}}}{v_{c_{1}}} = (\frac{v_{v}}{v_{c}})^{2}$$

Sabendo que $$\frac{v_{v}}{v_{c}} = 0,0240$$, temos

$$\frac{v_{c_{1}} – v_{c_{2}}}{v_{c_{1}}} = (0,0240)^{2} \longrightarrow \frac{v_{c_{1}} – v_{c_{2}}}{v_{c_{1}}} = 5,76\cdot 10^{-4}$$


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