Introdução à Análise Funcional – Espaços Métricos (exercício 2)

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Exercício

Seja $$d: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}$$ uma função tal que $$d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$$ e $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(z,y)$$. Prove que $$d$$ é uma métrica.

Solução:

a) Provaremos que $$d(x,y)>0$$, para $$x\neq y$$. De fato, utilizando as duas propriedades do enunciado, para $$z=x$$, temos:

\[0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(x,y)\Longrightarrow 0\leq 2\cdot d(x,y)\Longrightarrow 0\leq d(x,y)\].

Por hipótese da primeira propriedade, conclui-se que $$d(x,y)>0$$.

b) Usaremos duas vezes a desigualdade da hipótese, para provarmos que a distância é simétrica, ou seja, $$d(x,y)=d(y,x).

Com efeito, tomando $$y=x$$, temos $$d(x,z)\leq d(x,x)+d(z,x)=d(z,x)$$. Trocando a ordem dos termos na desigualdade e fazendo com que $$y=z$$, também teremos $$d(z,x)\leq d(z,z)+d(z,x)=d(z,x)$$.

Com as duas desigualdades, temos a expressão $$d(x,z)\leq d(z,x)\leq d(x,z)$$. Portanto $$d(x,z)=d(z,x)$$. Aplicando este resultado à desigualdade do enunciado, ter-se-á a desigualdade triangular.

Referência:

E.L. Lima – Espaços Métricos