Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 1)

Uma função $$f:X\longrightarrow Y$$ é sobrejetora, se, e somente se, para cada $$A\subset X$$, tem-se que $$Y-f(A)\subseteq f(X-A)$$.

Demonstração:

Assumimos que $$f$$ é sobrejetora, isto é: existe, para cada $$y\in Y$$, algum $$x\in X$$ tal que $$f(x)=y$$.

Dado algum $$p\in (Y-f(A))$$, é certo que $$p\in Y$$ e $$p\notin f(A)$$. Da segunda afirmação, ocorre que, para qualquer $$x\in A$$, $$f(x)\neq p$$. Por outro lado, da primeira afirmação e da hipótese de que a função é sobrejetora, existe $$x\in X$$ tal que $$p=f(x)$$. Porque a primeira afirmação é válida, conclui-se que $$x\in X-A$$. Deste modo, $$p=f(x)$$, para algum $$x\in X-A$$.

Por definição, isto é equivalente a dizer que $$p\in f(X-A)$$.

Assumimos que $$Y-f(A)\subseteq f(X-A)$$, para provarmos que a função é sobrejetora.

Com efeito, se $$p\in Y$$, há duas opções: ou $$p\in Y-f(A)$$, ou $$p\in f(A)$$. Do segundo caso, concluímos que existe $$x\in A\subset X$$ tal que $$p=f(x)$$. Em outras palavras, para $$p\in f(A)$$, existe $$x\in X$$ tal que $$f(x)=p$$.

No outro caso possível, temos $$p\in Y-f(A)$$, portanto existe $$x\in X-A$$ tal que $$f(x)=p$$. Novamente, garante-se a existência de um $$x\in X$$ que corresponde a $$p$$ por $$f$$. Isto mostra que a função é sobrejetora.