Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 2)

Seja uma função $$f:X\longrightarrow Y$$, e sejam $$A$$ e $$B$$ subconjuntos de $$X$$. Então $$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$$.

Demonstração:

De fato, se $$p\in f(A)\cup f(B)$$, é certo que $$p\in f(A)$$ ou $$p\in f(B)$$. Do primeiro caso, temos, por definição do conjunto imagem, a existência de $$x\in A$$ tal que $$f(x)=p$$. Mas, se $$x\in A$$, é certo que $$x\in A\cup B$$. Portanto existe $$x\in A\cup B$$ tal que $$f(x)=p$$, isto é, $$p\in f(A\cup B)$$.

Do caso em que $$p\in f(B)$$, teremos $$p\in f(A\cup B)$$, pelo mesmo raciocínio empregado anteriormente. Deste modo, dados os dois casos implicando a mesma consequência, só se pode ter $$p\in f(A\cup B)$$.

Contrariamente, assumimos que $$p\in f(A\cup B)$$. Assim, há $$x\in (A\cup B)$$ tal que $$f(x)=p$$. Há apenas duas possibilidades: $$x\in A$$, ou $$x\notin A$$. A primeira possibilidade implica no pertencimento de $$x\in A$$ e, portanto, no fato de que $$p\in f(A)$$. A segunda possibilidade faz com que $$x\in B$$, portanto $$p\in f(B)$$.

Daqui, ou $$p\in f(A)$$, ou $$p\in f(B)$$, isto é, $$p\in f(A\cup B)$$.