Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 3)

Seja uma função $$f:X\longrightarrow Y$$, e sejam $$A$$ e $$B$$ subconjuntos de $$X$$. Então $$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$$.

Demonstração:

De fato, seja $$p\in f(A\cap B)$$. Então há $$x\in (A\cap B)$$ tal que $$f(x)=p$$. Porque $$x\in (A\cap B)$$, é certo que $$x\in A$$ e $$x\in B$$. Do primeiro caso, conclui-se que $$p\in f(A)$$, uma vez que existe $$x\in A$$ tal que $$f(x)=p$$. Do segundo caso e pelo raciocínio análogo ao anterior, temos $$p\in f(B)$$.Portanto $$p\in f(A)$$ e $$p\in f(B)$$, isto é, $$p\in f(A\cap B)$$.

Um contraexemplo para $$f(A\cap B)\supseteq f(A)\cap f(B)$$.

Suponha que $$f(x_{1})=f(x_{2})$$ e $$x_{1}\neq x_{2}$$. Tomemos $$A=\{x_{1}\}$$ e $$B=\{x_{2}\}$$.

Com efeito, $$f(A)=f(B)=\{p\}$$, mas $$f(A\cap B)=f(\emptyset)=\emptyset$$. Logo é impossível que $$\{p\}\subseteq\emptyset$$.