Lógica Matemática – Conjuntos – Exercício 1

Usaremos as operações, União e Intersecção, entre conjuntos.

Operações de Conjuntos

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a união é traduzida da seguinte maneira: \[A\cup B =\{x;x\in A\;ou\; x\in B\}\].

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a intersecção é traduzida da seguinte maneira: \[A\cap B =\{x;x\in A\;e\; x\in B\}\].

O conectivo ou expressa que o elemento pode ser tomado de qualquer região dos conjuntos em questão. O conectivo e expressa a simultaneidade, ou seja, indica que o elemento pertence aos dois conjuntos, ao mesmo tempo.

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a inclusão de conjuntos é denotada por $$A\subset B$$. Isto traduz que $$A$$ é parte de $$B$$, ou, em outras palavras, $$A$$ é subconjunto de $$B$$.

A relação de inclusão carrega as seguintes propriedades algébricas:

i.  $$A\subset A$$ — Propriedade Reflexiva;

ii.  se $$A\subset B$$ e $$B\subset A$$, então $$A=B$$ — Propriedade Antissimétrica;

iii. se $$A\subset B$$ e $$B\subset A$$, então $$A\subset C $$— Propriedade Transitiva.


Exercício 1

Dados os conjuntos $$A$$ e $$B$$, seja $$X$$ um conjunto com as seguintes propriedades:

i. $$X \supset A$$ e $$X\supset B$$,

ii. Se $$Y\supset A$$ e $$Y\supset B$$, então $$Y\supset X$$.

Prove que $$X=A\cup B$$.

Demonstração:

Referência:

[1] – Lima,L. Elon – Um Curso de Análise, volume 1

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