Lógica Matemática – Conjuntos – Exercício 2

Clique aqui e veja o exercício anterior e as definições para conjuntos.

Exercício 2

Prove as seguintes propriedades:

a) $$A\subset A\cup B $$;

b) $$A\cup \emptyset = A$$;

c) $$A\cap B\subset A$$ (e de $$B$$);

d) $$A\cap B\subset A\cup B$$;

e) $$\emptyset\subset A$$.

Nas demonstrações, aplicam-se as definições das operações de conjuntos.

Demonstração:

a) De fato, seja $$x\in A$$, então $$x\in A$$ ou $$x\in B \Longrightarrow x\in A\cup B$$.

Obs: O fato de $$x$$ estar em $$A$$, implica em $$x$$ poder ser tomado de uniões entre o conjunto $$A$$ e outro conjunto qualquer.

b) Do item anterior, sabemos que $$A\subset A\cup \emptyset$$. Por outro lado, se tomarmos $$x\in A\cup\emptyset$$, de modo que $$x\notin A$$; devemos dizer, pois, que $$x\in\emptyset$$. Isto é um absurdo, porque não há elementos no conjunto vazio. Deste modo, se $$x\in A\cup\emptyset$$, então $$x\in A$$.

Provamos a igualdade.

c)  Tomemos $$x\in A\cap B$$, então $$x\in A$$ e $$x\in B$$. As duas afirmações são verdadeiras, portanto é natural dizermos que $$x\in A$$, ou seja, $$A\cap B \subset A$$. O mesmo valerá para $$B$$.

d) Junte os itens a e c: $$A\cap B\subset A\subset A\cup B$$.

e) Esta propriedade diz que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Por absurdo, diremos que $$\emptyset\nsubset A$$; deste modo, existe algum elemento com as seguintes características: $$x\notin A$$ e $$x\in\emptyset$$. A segunda afirmação é absurda, pois o conjunto vazio é definido de tal modo que não tenha elementos. Concluímos que a existência de um conjunto que não contenha um vazio, leva-nos a uma afirmação inconsistente, o que indica ser verdade a afirmação de que $$\emptyset\subset A$$.

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