Lógica Matemática – Conjuntos – Exercício 4

Teoria de Conjuntos (Lista de exercícios e teoria)


Prove que $$(A\cup B)-(A\cap B)=(A-B)\cup (B-A)$$.

Demonstração:

i) Afirmamos que $$(A\cup B) – (A\cap B)\subseteq (A-B)\cup (B-A)$$.

Com efeito, sê $$x\in (A\cup B) – (A\cap B)$$. Há duas opções. No primeiro caso, supomos que $$x\in A$$, então $$x\notin B$$; do contrário, teríamos $$x\in A$$ e $$x\in B$$, algo que contraria a hipótese inicial de que $$x\notin (A\cap B)$$. Daqui, prova-se que $$x\in (A-B)$$. No outro caso, $$x\notin A$$, então $$x\in B$$, dado que, por hipótese, $$x\in (A\cup B)$$. Daqui, conclui-se que $$x\in B$$ e $$x\notin A$$, isto é, $$x\in (B-A)$$. Finalmente, temos $$x\in (A-B)$$ ou $$x\in (B-A)$$.

ii) Afirmamos que $$(A\cup B) – (A\cap B)\supseteq (A-B)\cup (B-A)$$.

De fato, dado $$x\in (A-B)\cup (B-A)$$, $$x\in (A-B)$$ ou $$x\in (B-A)$$. No primeiro caso, $$x\in A$$ e $$x\notin B$$. Da primeira consequência, é certo que $$x\in (A\cup B)$$, uma vez que $$A\subset (A\cup B)$$. Da segunda consequência, claramente $$x\notin (A\cap B)$$, dado que $$x\notin B$$ e $$B\supset (A\cap B)$$. Portanto, se $$x\in (A-B)$$, é fato que $$x\in (A\cup B)$$ e $$x\notin (A\cap B)$$.

Para fechar a demonstração de (ii), basta percorrer o mesmo caminho no caso em que $$x\in (B-A)$$.

iii) As duas afirmações anteriores equivalem ao teorema proposto.