Lógica Matemática – Lema sobre Filtros

Lema

Seja $$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(I)$$ um filtro.

Seja $$B$$ um subconjunto próprio de $$I$$. Tem-se $$B\in\mathcal{F}$$ se, e somente se, existirem $$n\in\mathbb{N}$$ e uma família $$\{A_{i}\}_{i=1}^{n}\subset\mathcal{F}$$ tais que

\[\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B.\]

Demonstração:

i) Suponha válido que existem $$n\in\mathbb{N}$$ e a família $$\{A_{i}\}_{i=1}^{n}\subset\mathcal{F}$$ tais que $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B$$.

Do primeiro axioma de filtros, o conjunto $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$$ pertence ao filtro. Do segundo axioma de filtro, dado que $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B$$, é fato que $$B\in\mathcal{F}$$.

 

ii) Suponha válido que $$B\in\mathcal{F}$$.

Dado que $$B\neq I$$, tomam-se $$x,y\in B^{C}$$. Daqui, edificam-se os conjuntos $$A_{1}=B\cup \{x\}$$ e $$A_{2}=B\cup \{y\}$$.

Dado que $$B\subset B\cap \{x\} = A_{1}$$ e $$B\subset B\cap \{y\} = A_{2}$$, é fato, pelo segundo axioma de filtro, que $$A_{1},A_{2}\in\mathcal{F}$$.

Ademais, $$A_{1}\cap A_{2}=B\subset B$$, donde se conclui a recíproca do teorema.⊂

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