Lógica Matemática – Teorema 1 – Filtros

O subconjunto $$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(I)$$ um filtro se, e somente se, vale a regra a seguir:

\[A\cap B\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A,B\in\mathcal{F}.\]

Demonstração

1) Válida a regra, demonstra-se que $$\mathcal{F}$$ é um filtro, isto é, que $$\mathcal{F}$$ cumpre os axiomas de filtro.

Com efeito, o axioma (i) equivale a $$A,B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\cap B\in\mathcal{F}$$.

Sejam $$A\in\mathcal{F}$$ e $$E\subseteq I$$ tais que $$A\subseteq E$$. Dado que $$A=A\cap E$$, é fato que $$A\cap E\in\mathcal{F}$$. Daqui, pela regra enunciada, é fato que $$B\in\mathcal{F}$$.

Comprova-se, assim, a validade do axioma (ii) de filtro.

 

2) Do fato de que $$\mathcal{F}$$ é um filtro, o axioma (i) equivale a $$A,B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\cap B\in\mathcal{F}$$.

Se $$A\cap B\in\mathcal{F}$$, é fato que que $$A\cap B\subset A\subset I$$, então,  a partir do axioma (ii), tem-se $$A\in\mathcal{F}$$. Analogamente, demonstra-se que $$E\in\mathcal{F}$$.

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