[Matemática Financeira] – Série de Pagamentos – Valor Presente Líquido

Olá, pessoal. Neste artigo, vamos tratar do Valor Presente Líquido (VPL) de uma série de pagamentos. Este conceito é essencial para analisar formas de pagamentos e investimentos.

Definição: Uma série de pagamentos (ou anuidades) são as operações financeiras, em um determinado período, sobre algum investimento ou dívida — os depósitos ou retiradas naquele caixa. O fluxo destas operações é chamado de fluxo de caixa e é representado por uma linha no tempo, com as respectivas retiradas e inserções de capital naquele caixa.

Em geral, estas séries estão sujeitas a uma taxa de juros específica e fixa, mas pode haver variação na taxa, de acordo com a série.

Valor Presente Líquido (VPL)

  • $$P_{s}=$$ depósito ou retirada no instante $$t_{s}$$,
  • $$i =$$ taxa de juros,
  • $$n =$$ número de ciclos do fluxo de caixa,
  • $$VP =$$ valor presente (valor atual) do fluxo de caixa (pode ser nulo).

Cada parcela $$P_{s}$$ está sujeita a uma correção de juros compostos, ao longo do tempo. O Valor Presente ($$VP_{s}$$) ,relativo àquela parcela, será a retroação da parcela no tempo, isto é, o cálculo do valor da parcela (que será paga daqui a $$t_{s}$$ períodos, contados a partir do início do fluxo de caixa) no início do período de pagamentos ou retiradas.

\[VP_{i}=\frac{P_{s}}{(1+i)^{t_{s}}}\]

Note que a sequência dos instante $$t_{s}$$ não requer uniformidade, ou seja, pode-se ter, como exemplo, $$t_{s} = 15$$ dias, $$t_{s}=25$$.

O Valor Presente Líquido (VPL) é o somatório dos valores presentes de todas as operações realizadas no fluxo de caixa e equivale ao valor atual daquele fluxo de caixa. Se ocorrer um financiamento, por exemplo, o VPL representa o custo atual do financiamento. Sendo assim, temos uma ferramenta muito poderosa para compararmos fluxos de caixa.

\[\sum^{n}_{s=1} VP_{s}=VP+\frac{P_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}+…\frac{P_{1}}{(1+i)^{t_{n}}}\]


Exemplo 1

Calcule o VPL das séries de capitais a seguir. Note que as retiradas e depósitos possuem sinais distintos. Taxa de 3,87% a.m.

Solução:


Exemplo 2

Uma pessoa quer comprar um terreno que tem o seguinte plano de pagamento a prazo:

  • entrada de R$ 5.000,00;
  • mais 4 pagamentos mensais de R$ 2.500,00.

Se a pessoa pode aplicar seus recursos à taxa de 2,5% a.m., qual o valor à vista equivalente ao plano de pagamento a prazo?

Solução: (em texto)

Calculando o VPL, teremos o valor atual daquele fluxo de caixa, isto é, teremos, hoje, o valor daquele fluxo de caixa. As prestações vencerão ao final de cada mês, iniciando-se pelo primeiro.

$$VP = R\$ 5000,00$$, pois $$t_{0}=0$$.

$$VP_{i} = \frac{2500}{(1+2,5\%)^{i}}$$, pois $$t_{i} = i$$ (mês).

\[VPL=5000+\frac{2500}{(1+2,5\%)}+\frac{2500}{(1+2,5\%)^{2}}+\frac{2500}{(1+2,5\%)^{3}}+\frac{2500}{(1+2,5\%)^{4}}= R\$ 14.404,94\].

Solução: (no Excel)


Exemplo 3

Uma televisão de 29 polegadas é vendida por R$ 1.660,00 à vista ou a
prazo com o seguinte plano de pagamento:

  • 20% de entrada.
  • Mais duas parcelas mensais e consecutivas, vencendo a primeira 3 meses após a compra e sendo o valor da segunda a metade da primeira.

Qual o valor de cada prestação, sabendo que a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% a.m.?

Solução:

Calculamos o VPL em função das parcelas — aqui, denotadas por $$x$$—, a fim de igualarmos esta expressão ao valor do produto à vista.

$$P_{1}=20\%\cdot 1.660,00 = R\$ 332,00=VP_{1}$$, pois $$t_{1}=0$$.

$$VP_{2}=\frac{x}{(1+2\%)^{3}}$$, pois $$t_{2}=3$$ meses.

$$VP_{3}=\frac{x/2}{(1+2\%)^{4}}$$, pois $$t_{3}=4$$ meses.

\[VPL= 332+\frac{x}{(1+2\%)^{3}}+\frac{x/2}{(1+2\%)^{4}}\]

Devemos igualar o VPL ao valor à vista da televisão. A explicação para isso é a seguinte: a loja quer lucrar o valor integral da televisão. Quando há financiamento, a loja recebe apenas parte do valor, em prestações, e não recebe o dinheiro no tempo devido, por isso, os juros corrigem esta diferença no tempo. Deste modo, o valor da televisão (margem de lucro da loja) é idêntico ao VPL.

Basta resolvermos a equação:

\[1660,00-VPL=0\Longrightarrow 1600,00 -332-\frac{x}{(1+2\%)^{3}}-\frac{x/2}{(1+2\%)^{4}} =0\].

Para resolver a equação em $$x$$, recomenda-se o uso de calculadoras ou softwares.

O valor é $$x= R\$ 190,95$$.


Referências:

[1] – Dutra, M. J – Matemática Financeira, modalidade EAD – Unisul

[2] – Vendite, L.L – Matemática Financeira (ver. 2010)

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