[Matemática Financeira] – Série Uniforme de Pagamentos – Valor Futuro

Olá, amigos. Neste post, vamos iniciar o tópico relacionado às anuidades, ou série de pagamentos. Na primeira etapa, trabalhamos com as séries uniformes de pagamentos e suas funções matemáticas. 

Séries de Pagamentos

Definição: Uma série de pagamentos (ou anuidades) são as operações financeiras, em um determinado período, sobre algum investimento ou dívida — os depósitos ou retiradas naquele caixa. O fluxo destas operações é chamado de fluxo de caixa e é representado por uma linha no tempo, com as respectivas retiradas e inserções de capital naquele caixa.

Em geral, estas séries estão sujeitas a uma taxa de juros específica e fixa, mas pode haver variação na taxa, de acordo com a série.

As séries uniformes são as séries em que os pagamentos ocorrem periodicamente (a cada período fixo) e estão sujeitas a mesma taxa de juros.

A séries uniformes podem ser antecipadas, ou seja, séries em que o depósito ou a retirada é feito no início de cada período (mês, ano, semana, quinzena, etc). Por outro lado, as séries podem ser postecipadas, ou seja, séries em que as operações são realizadas no final do período (mês, ano, semana, quinzena, etc).

Definição: O Valor Futuro de uma série uniforme de pagamentos é o resultado final, após entradas, retiradas e capitalizações, do montante obtido. Se for uma dívida, o objetiva-se que o Valor Futuro seja nulo, isto é, objetiva-se que a dívida seja paga.


Exemplo

Calcule o montante (Valor Futuro) de um investimento, após duas aplicações consecutivas e mensais, de R$ 800,00, numa poupança com taxa de rentabilidade igual a 1,5% ao mês. As operações são realizadas no início do mês.

Solução:

Início do Primeiro Mês: depósito de $$R\$ 800,00$$

Montante no final do Primeiro Mês: $$M=800\cdot (1+1,5\%)= R\$ 812,00$$.

Montante do Início do Segundo Mês: $$812,00 + 800=R\$ 1612,00$$.

Montante no Final do Segundo Mês: $$M=1612\cdot (1+1,5\%)= R\$ 1636,18$$.


Fórmula do Valor Futuro

BF4
  • $$PMT=$$ depósitos ou retiradas,
  • $$i =$$ taxa de juros,
  • $$n =$$ número de ciclos do fluxo de caixa,
  • $$VP =$$ valor presente (valor atual) do fluxo de caixa,
  • $$VF = $$ valor futuro ou montante.

Quando a série for postecipada, a fórmula do Valor Futuro será:

\[VF=PMT\cdot[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}]\]

Quando a série for antecipada, a fórmula do Valor Futuro será:

\[VF=PMT\cdot[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}]\cdot (1+i)\]

Em ambos os casos, se o valor presente não for nulo, isto é, se houver alguma quantia anterior, depositada no fluxo de caixa sobre o qual ocorrerá o investimento, então acrescentamos o fator de correção multiplicado pelo valor presente.

Quando a série for postecipada, a fórmula do Valor Futuro será:

\[VF=PMT\cdot[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}]+PV\cdot (1+i)^{n}\]

Quando a série for antecipada, a fórmula do Valor Futuro será:

\[VF=PMT\cdot[\frac{(1+i)^{n}-1}{i}]\cdot (1+i)+PV\cdot (1+i)^{n}\]


Exemplo

Pedro deposita no final de cada mês durante 7 meses a quantia de R$4.500,00 em um fundo que paga juros a uma taxa de 2,5% a.m. Qual o montante no instante do último depósito?

Solução:

A sequência é postecipada, além disso, $$i=2,5\%$$, $$PMT=45000$$ e $$n=7$$. Basta aplicarmos a fórmula.

\[VF=4.500\cdot[\frac{(1+2,5\%)^{7}-1}{2,5\%}]= R\$33.963,44 \].

Analogamente, pode-se observar o fluxo de caixa, obtido em planilha.


Exercícios Resolvidos com o Excel (CLIQUE AQUI)

Exercícios Resolvidos com a Calculadora HP 12c (CLIQUE AQUI)