Álgebra

Álgebra de Anéis: inteiros módulo n (exercícios)

Questão Seja $$n$$ um inteiro positivo que não é primo. Mostre que o anel $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$ não é um domínio. Solução:  Podemos escolher $$a,b\in\mathbb{Z}$$, distintos e positivos, de modo que $$a\cdot b = n$$, uma vez que $$n$$ não é um número primo (pela teorema de decomposição em números primos, no mínimo, $$n=p\cdot p$$, com $$p$$ primo). Realizando o produto das classes de equivalência, notamos o que vem a seguir: \[\bar{a}\cdot\bar{b}=\overline{a\cdot b}=\bar{n}\]. Por definição, $$\bar{n}=n\mathbb{Z}=\bar{0}$$, ou Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercícios)

Questão Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove: i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow F$$ é invertível, e $$A^{*}(AA^{*})^{-1}: F\longrightarrow E$$ é uma inversa à direita de $$A$$. ii) Se $$A$$ é injetiva, então $$A^{*}A: E\longrightarrow E$$ é invertível e $$(A^{*}A)^{-1}A^{*}$$ é uma inversa à esquerda de $$A$$. Solução: i) Provaremos que $$AA^{*}=T$$ é injetiva, isto é, $$\mathcal{N(T)}={0_{F}}$$. Seja $$y\in F$$ tal que $$AA^{*}y=0$$. Leia mais…

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Álgebra

Álgebra de Grupos: Homomorfismos (Exercícios)

  Questão (Propriedades dos Homomorfismos) Seja os grupos $$G$$ e $$H$$, com suas respectivas operações de produto (lei da composição), e seja o homomorfismo $$\phi G\rightarrow H$$. Prove as seguintes propriedades: i) $$\phi (l_{G})=l_{H}$$, sendo $$l$$ o elemento neutro de cada grupo. ii) $$\phi (a_{1}\cdot …\cdot a_{n})=\phi(a_{1})\cdot …\cdot a_{n})$$, $$a_{i}\in G$$. iii) $$\phi(x^{-1})=(\phi(x))^{-1}$$. iv) $$\phi(x)=\phi(y) \Longleftrightarrow xy^{1}\in ker(\phi)$$, para $$x,y\in G$$. Solução: i) Seja $$x\in G$$. Pela definição do homomorfismo, $$\phi (x)=\phi (x\cdot 1_{G})=\phi (x)\cdot\phi(1_{G})$$. Leia mais…

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Álgebra

Álgebra Linear – Transformações Lineares (continuação)

Questões Anteriores Questão Seja $$E$$ um espaço vetorial de dimensão $$n$$. Para todo $$k\in\{2,3,…n\}$$, exiba um operador linear $$A:E\longrightarrow E$$ tal que $$A^{k}=0$$, mas $$A^{j}\neq )$$, para $$j<k$$. Solução: Podemos trabalhar com a permutação de coordenadas de vetores da base, uma ação do grupo permutação neste espaço vetorial. Caso $$n=2$$. Seja a base do espaço igual a $$\{v_{1},v_{2}\}$$. Seja um vetor $$w\in E$$, então $$w=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}$$, para alguns $$\alpha_{1,2}$$. Seja $$A$$ que opere do seguinte modo: Leia mais…

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Análise Matemática

Análise Matemática – Topologia da Reta – Conjuntos Fechados

Questão Prove que, para todo $$X\in\mathbb{R}$$, vale $$\overline{X}=X\cup \partial(X)$$. Conclua que $$X$$ é fechado se, e somente se, $$X\supset \partial(X)$$. Solução: Se $$x\in X$$, então é válido, para todo $$\delta >0$$: $$B(x,\delta)\cap \neq\emptyset$$, isso prova que $$X\subset\overline{X}$$. Ainda mais: se $$x\in\partial X$$, então, para todo $$\delta>0$$, tem-se $$B(x,\delta)\cap X\neq\emptyset$$ e $$B(x,\delta)\cap X^{C}\neq\emptyset$$. Do primeiro caso, decorre que $$x\in\overline{X}$$. Provamos que $$\overline{X}\supset X\cup \partial X$$. Agora, seja $$x\in\overline{X}$$. Sabemos que $$X\subset\overline{X}$$. Se assumirmos $$x\notin X$$, teremos: $$x\in Leia mais…

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Engenharia

Equações Diferenciais Aplicadas para Engenharia: Equação do Adensamento do Solo

Situação: camada de argila mole de 10 m. Na fronteira superior existe uma camada de areia compacta. Na fronteira inferior existe rocha impermeável. A figura abaixo mostra a situação descrita. A equação diferencial para esse tipo de situação é: \[Cv\frac{\partial^{2} u_{e}}{\partial z^{2}} = \frac{\partial u_{e}}{\partial t}\] O que configura um problema de valor inicial. Condição inicial: Em t = 0, todo o excesso de pressão vai para a água, portanto $$u_{e} = 10\, kPa$$. Condições Leia mais…

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Análise Matemática

Análise Matemática – Topologia da Reta – Conjuntos Abertos

Observação (notação para a vizinhança de um ponto): $$V_{(\delta)}(x)=\{p\in\mathbb{R}; |x-p|<\delta\}$$. Questão Prove que, para todo $$X\subset\mathbb{R}$$, tem-se $$int(int(X))=int(X)$$ e conclua que $$int(X)$$ é um conjunto aberto. Solução: Suponha que exista $$p\in int(X)$$ tal que $$p\notin int(int(X))$$. Por hipótese, existe $$\epsilon_{0}>0$$ tal que $$V_{\epsilon_{0}}(p)\subset X$$. Pela afirmação feita, ($$p$$ não é ponto de $$int(int(X))$$) temos a existência de $$x\in V_{\epsilon}(p)$$ de modo que $$x\notin int(X)$$, seja qual for $$\epsilon>0$$. Tomemos $$\epsilon = \epsilon_{0}/2$$. Deste modo, $$x\in Leia mais…

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Álgebra

Álgebra de Grupos: Subgrupos (Exercícios)

  Questão (Lema de Caracterização de Subgrupos) Seja $$H\subset G$$, onde $$G$$ é um grupo. $$H$$ é subgrupo de $$G$$ se, e somente se, para todo $$x,y\in H$$, houvesse $$xy^{-1}\in H$$> Solução: $$(\Longrightarrow)$$: Partamos de que $$H$$ é subgrupo. Então, se $$x,y\in H$$, é óbvio que $$y^{-1}\in H$$, e $$x\cdot y^{-1}\in H$$, pois $$H$$ observa as propriedades da inclusão do inverso e do fecho sobre o produto. $$(\Longleftarrow)$$: Precisamos provar três itens: se $$x,y\in H$$, Leia mais…

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Álgebra Linear

Álgebra Linear – Transformações Lineares

Questão Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$T$$ uma transformação linear de $$V$$ em $$V$$. Demonstrar que as duas afirmações seguintes sobre $$T$$ são equivalentes: (a) A intersecção da imagem de $$T$$ com o núcleo de $$T$$ é o subespaço nulo de $$V$$. (b) Se $$T(T(v))=0_{V}\Longrightarrow T(v)=0_{V}$$. Solução: Seja $$v\in Im(T)$$ (imagem), então existe $$w\in V$$ tal que $$T(w)=v$$.   De (a) para (b). Se $$T(T(w))=T(v)=0$$, temos $$T(w)\in ker (T)$$ e $$T(w)\in Im(T)$$. Por Leia mais…

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Análise Matemática

Análise Matemática – Sequências (exercício 1)

Exercício Se $$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$$, então $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$. Dê um contraexemplo, monstrando que a recíproca é falsa, salvo quando $$a=0$$. Solução: Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, para o qual, se $$n>n_{0}$$, tem-se: $$|x_{n}-a|<\epsilon$$. Sabemos que a seguinte desigualdade é válida: \[||x_{n}|-|a||\leq|x_{n}-a|\]. Portanto a sentença é mantida: Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, para $$n>n_{0}$$, tem-se: $$|x_{n}|-|a|<|x_{n}-a|<\epsilon$$. Portanto $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$. Observação: se tomarmos a sequência $$x_{n}=\{-1,1,-1,1,-1…\}$$, observamos que a sequência não possui limite, porém Leia mais…

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