Álgebra Linear

Álgebra Linear – Transformações Lineares

Questão Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$T$$ uma transformação linear de $$V$$ em $$V$$. Demonstrar que as duas afirmações seguintes sobre $$T$$ são equivalentes: (a) A intersecção da imagem de $$T$$ com o núcleo de $$T$$ é o subespaço nulo de $$V$$. (b) Se $$T(T(v))=0_{V}\Longrightarrow T(v)=0_{V}$$. Solução: Seja $$v\in Im(T)$$ (imagem), então existe $$w\in V$$ tal que $$T(w)=v$$.   De (a) para (b). Se $$T(T(w))=T(v)=0$$, temos $$T(w)\in ker (T)$$ e $$T(w)\in Im(T)$$. Por Leia mais…

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Análise Matemática

Análise Matemática – Sequências (exercício 1)

Exercício Se $$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$$, então $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$. Dê um contraexemplo, monstrando que a recíproca é falsa, salvo quando $$a=0$$. Solução: Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, para o qual, se $$n>n_{0}$$, tem-se: $$|x_{n}-a|<\epsilon$$. Sabemos que a seguinte desigualdade é válida: \[||x_{n}|-|a||\leq|x_{n}-a|\]. Portanto a sentença é mantida: Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, para $$n>n_{0}$$, tem-se: $$|x_{n}|-|a|<|x_{n}-a|<\epsilon$$. Portanto $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$. Observação: se tomarmos a sequência $$x_{n}=\{-1,1,-1,1,-1…\}$$, observamos que a sequência não possui limite, porém Leia mais…

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Álgebra Linear

Álgebra Linear – Base e Dimensão (Exercício 2)

Questão Sejam $$u,v\in E$$, vetores linearmente independentes. Dado $$\alpha\neq 0$$, prove que o conjunto de dois elementos $$\{v,v+\alpha u\}$$ é uma base do subespaço gerado pelos vetores $$v,v+u,v+2u,…$$. Solução: Podemos escrever os vetores do referido conjunto, para algum$$k\in\mathbb{N}$$, da forma: \[v+ku=av+b(v+\alpha u)=av+bv+b\alpha u\]. Com os escalares reais $$a$$ e $$b$$. Deste modo, teremos: $$a+b=1$$ e $$b\alpha = k$$. Isto é, podemos obter, para qualquer $$k\in\mathbb{N}$$ e $$\alpha\neq 0$$, os valores de $$a$$ e $$b$$, bastando Leia mais…

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Álgebra Linear

Álgebra Linear – Base e Dimensão (Exercício 1)

Questão Seja $$E=F_{1}\oplus F_{2}$$. Se $$\mathcal{B}_{1}$$ é uma base de $$F_{1}$$, e $$\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$F_{2}$$, prove que $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$E$$. Solução: Seja $$\mathcal{B}_{1}=\{w_{1},…,w_{k}\}$$, e seja $$\mathcal{B}_{2}=\{u_{1},…,u_{r}\}$$. Da hipótese, sabemos que todo vetor $$v$$ de $$E$$ é escrito de maneira única como soma de $$w\in F_{1}$$ e $$u\in F_{2}$$. Assim, podemos escrever: \[v=w+u=\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}\cdot w_{k}+\beta_{1}u_{1}+…+\beta_{r}u_{r}\]. Vemos que o conjunto $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é gerador de $$E$$. Além disso, este é um conjunto linearmente independente, Leia mais…

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Álgebra Linear

Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (Exercício 3)

Questões Anteriores Questão Sejam $$F_{1}$$ e $$F_{2}$$ subespaços vetoriais de $$E$$. Se existir algum $$a\in E$$, para o qual $$a+F_{1}=F_{2}$$, prove que $$F_{1}\subset F_{2}$$. Solução: Por definição, $$a+F_{1}=\{a+v; v\in F_{1}\}$$. Assim, $$a+0=a\in F_{2}$$, pois $$0\in F_{1}$$ (subespaço vetorial). Além disso, $$a+v+w\in F_{2}$$, para todo $$w\in F_{2}$$ e $$v\in F_{1}$$. Em particular, pondo $$w=-a$$, teremos $$a+v-a=v\in F_{2}$$, para todo $$v\in F_{1}$$, logo $$F_{1}\subset F_{2}$$. Referências [1] – Lima,L. Elon – Álgebra Linear

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Álgebra Linear

Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (Exercício 2)

Questões Anteriores Questão Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de $$E$$ é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro. Solução: Sejam os subespaços $$V$$ e $$W$$. Sem perda de generalidade, digamos que $$V\subset W$$. Então $$V\cup W = W$$. Assim, por hipótese de $$W$$ ser um subespaço, $$V\cup W$$ é um subespaço vetorial de $$E$$. Reciprocamente, seja $$V\cup W$$ um subespaço vetorial de $$E$$. Diremos que existe Leia mais…

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Álgebra Linear

Álgebra Linear – Subespaços Vetoriais (Exercício 1)

  Questão Seja $$V$$ o espaço vetorial das funções dos reais nos reais. Seja $$E_{p}$$ o subconjunto de $$V$$, cujas funções são pares. Seja $$E_{i}$$ o subconjunto com funções ímpares. Prove os itens: a) $$E_{p}$$ e $$E_{i}$$ são subespaços vetoriais. b) $$E_{p}\cap E_{i}=\emptyset$$. c) $$V= E_{p}\oplus E_{i}$$ (soma direta). Solução: a)  Sejam $$\phi (x)$$ e $$\varphi(x)$$, funções reais pares, isto é, $$\phi (-x)=\phi (x)$$ e $$\varphi(-x)=\varphi(x)$$. i. A função $$0(x)=0$$, para todo $$x\in\mathbb{R}$$. Em particular, nota-se que Leia mais…

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Matemática

[Matemática Financeira] – Série de Pagamentos – Valor Presente Líquido

Olá, pessoal. Neste artigo, vamos tratar do Valor Presente Líquido (VPL) de uma série de pagamentos. Este conceito é essencial para analisar formas de pagamentos e investimentos. Definição: Uma série de pagamentos (ou anuidades) são as operações financeiras, em um determinado período, sobre algum investimento ou dívida — os depósitos ou retiradas naquele caixa. O fluxo destas operações é chamado de fluxo de caixa e é representado por uma linha no tempo, com as respectivas Leia mais…

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Matemática

[Matemática Financeira] – Série Uniforme de Pagamentos – Valor Futuro – Exercícios na HP-12c

Exercícios do cálculo do Valor Futuro de uma Série Uniforme de Pagamentos, resolvidos na calculadora financeira HP-12c (ou similares). Para ver a teoria, as fórmulas e exemplos resolvidos de maneira escrita, clique aqui! Exercício 1 Calcule o Valor Futuro da série uniforme de pagamentos postecipada, onde $$V= R\$ -1.000,00$$, $$i = 3,5\%$$ ao mês, $$n=8$$ meses e: a) o valor presente é zero, ou seja, não há saldo inicial. $$VP=0$$, b) $$VP = R\$ -3.000,00$$. Leia mais…

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Matemática

[Matemática Financeira] – Série Uniforme de Pagamentos – Valor Futuro – Exercícios no Excel

Exercícios do cálculo do Valor Futuro de uma Série Uniforme de Pagamentos, resolvidos no Excel (ou similares). Para ver a teoria, as fórmulas e exemplos resolvidos de maneira escrita, clique aqui! Exercício 1 Calcule o Valor Futuro da série uniforme de pagamentos postecipada, onde $$V= R\$ -1.000,00$$, $$i = 3,5\%$$ ao mês, $$n=8$$ meses e: a) o valor presente é zero, ou seja, não há saldo inicial. $$VP=0$$, b) $$VP = R\$ -3.000,00$$. Solução: Exercício Leia mais…

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