Lógica

Lógica Matemática – Conjuntos – Exercício 1

Usaremos as operações, União e Intersecção, entre conjuntos. Operações de Conjuntos Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a união é traduzida da seguinte maneira: \[A\cup B =\{x;x\in A\;ou\; x\in B\}\]. Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a intersecção é traduzida da seguinte maneira: \[A\cap B =\{x;x\in A\;e\; x\in B\}\]. O conectivo ou expressa que o elemento pode ser tomado de qualquer região dos conjuntos em questão. O conectivo e expressa a simultaneidade, ou seja, indica Leia mais…

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Engenharia

Lista 1: Índices Físicos (continuação 3)

Questão Anterior Questão 4 O peso específico natural de um solo é 21,8 kN/m³ e seu peso específico seco é 18,6 kN/m³. Sabendo que o índice de vazios desse solo é igual a 0,48, obter: (a) o teor de umidade (b) o grau de saturação (c) o peso específico saturado (d) o peso específico dos sólidos a) O teor da umidade pode ser obtido a partir da relação existente entre o peso específico natural e Leia mais…

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Engenharia

Lista 1: Índices Físicos (continuação 2)

Questão Anterior Questão 3 36 g de uma amostra de areia, confinada num recipiente, tem 74,5% de grau de saturação e ocupa um volume de 19 cm³. Após a secagem do solo em estufa a sua massa passou para 31 g. Obter: (a) o peso específico natural (b) a peso específico aparente seco (c) o peso específico saturado (d) o índice de vazios (e) o peso específico dos sólidos a) Para calcular o peso específico Leia mais…

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Álgebra Linear

Álgebra Linear – Espaços Vetoriais (exercício 2)

Link da teoria, com exemplos, deste capítulo Exercício anterior Exercício Em $$E=\mathbb{R}^{2}$$, mantenhamos a definição do produto $$\alpha v$$ de um número por um vetor, mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma $$u+v$$, dos vetores $$u=(x,y)$$ e $$v=(x’,y’)$$. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos, e quais são violados. a) $$u+v=(x+y’,x’+y’)$$; b) $$u+v=(xx’,yy’)$$; c) $$u+v=(3x+3x’,5y+5y’)$$. Solução: Veja os axiomas de espaço vetorial neste link. a) O axioma da Leia mais…

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Engenharia

Lista 1: Índices Físicos (continuação 1)

Questão Anterior Questão 2 Um bloco indeformado de argila, com peso específico natural de 19,1 kN/m³ e teor de umidade de 29% apresenta um peso específico dos sólidos igual a 26,9 kN/m³. Para esse solo determinar: (a) o peso específico aparente seco (b) o índice de vazios (c) a porosidade (d) o grau de saturação a) Com apenas três valores, podemos encontrar todos os outros índices físicos por correlação. Nesse item, vamos deduzir a correlação Leia mais…

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Engenharia

Lista 1: Índices Físicos

CLIQUE AQUI PARA BAIXAR A LISTA Questão 1 Uma amostra de solo úmido, com um volume de 598 cm³ tem uma massa de 1010 g. Depois de seca em estufa, a massa da amostra passou para 918 g. Sabendo que o peso específico dos sólidos é 26,7 kN/m³, calcular: (a) o índice de vazios da amostra (b) a porosidade da amostra (c) o teor de umidade da amostra (d) o grau de saturação da amostra Leia mais…

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Geometria Analítica

Geometria Analítica e Vetores – Matrizes

Exercício Mostre que as matrizes $$A=\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]$$ em que y é uma número real não nulo, verificam a equação $$X^{2}=2X$$. Solução: Basta substituirmos os valores na equação indicada. $$A^{2}=\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2&\frac{2}{y}\\2y&2 \end{array}\right]=2\cdot\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]=2A$$.   Exercício Sejam $$A=\left(\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&0&-1\\4&-1&0 \end{array}\right)$$ e $$X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)$$. Verifique que a) Verifique que $$xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=AX$$, sendo $$A_{j}$$ a j-ésima coluna da matriz $$A$$. b) Verifique que a segunda coluna de $$C=A^{2}$$ é $$C_{2}=-2A_{1}-A_{3}$$. c) Tente generalizar o que foi feito em Leia mais…

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Engenharia

IC-570 – Mecânica dos Solos – Prova 1

Questão 1 Solo natural: γ = 16 kN/m³; w = 10% Solo compactado: $$\gamma_{dmax} = 18 kN/m^{3}$$; $$w_{ot} = 17\,\%$$; CR = 100%   a) Solo natural: $$\gamma_{d} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow \gamma_{d} = \frac{16}{1+0,1} \longrightarrow \gamma_{d} = 14,55\, kN/m^{3}$$ $$\gamma_{d} = \frac{P_{s}}{V_{c}} \longrightarrow 14,55 = \frac{P_{s}}{V_{c}} \longrightarrow P_{s} = 14,55V_{c}$$ Solo compactado: $$\gamma_{dmax} = \frac{P_{s}}{V_{a}} \longrightarrow 18 = \frac{P_{s}}{V_{a}} \longrightarrow P_{s} = 18V_{a}$$ $$14,55V_{c} = 18V_{a}$$ $$\frac{7}{100} = \frac{x}{y} \longrightarrow y = \frac{100x}{7}$$ $$V_{a} = Leia mais…

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