Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Espaço de Hilbert (exercício 3)

Questão Mostre que, para uma sequência $$(x_{n})$$, em um espaço vetorial munido de produto interno, se $$||x_{n}||\longrightarrow ||x||$$ e $$<x_{n},x>\longrightarrow <x,x>$$, é válida a convergência $$x_{n}\longrightarrow x$$. Demonstração: Observa-se que $$||x_{n}||\longrightarrow ||x|| \Longleftrightarrow ||x_{n}||^{2}\longrightarrow ||x||^{2}$$. Precisamos mostrar a sentença a seguir: \[\lim_{n\to\infty}||x_{n}-x||=0\]. Para tanto, assumamos que $$\lim_{n\to\infty} ||x_{n}-x||=0 \Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty} Leia mais…

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Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Teorema de Banach-Steinhaus (exercício 1)

Sejam E espaço de Banach, F espaço normado e $$T_{n}$$ ∈ $$\mathcal{L}(E, F)$$, tal que $$T_{n}(x)$$ é Cauchy em F para todo x ∈ E. Mostre que $$(||T_{n}||)^{\infty}$$ é limitada. Solução: Por ser uma sequência de Cauchy, fixando $$x$$, escolha $$\epsilon = 1$$. Assim, existirá $$p_{\epsilon}\in\mathbb{N}$$ tal que $$||T_{n}(x)-T_{n+p}(x)||<1$$. Pondo Leia mais…

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Análise Matemática

Introdução à Análise Funcional – Espaços Métricos (exercício 2)

Exercício Seja $$d: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}$$ uma função tal que $$d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x=y$$ e $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(z,y)$$. Prove que $$d$$ é uma métrica. Solução: a) Provaremos que $$d(x,y)>0$$, para $$x\neq y$$. De fato, utilizando as duas propriedades do enunciado, para $$z=x$$, temos: \[0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(x,y)\Longrightarrow 0\leq 2\cdot d(x,y)\Longrightarrow 0\leq d(x,y)\]. Por hipótese Leia mais…

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