Análise Matemática

Análise Matemática – Sequências (exercício 1)

Exercício Se $$\lim_{n\to\infty}x_{n}=a$$, então $$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=|a|$$. Dê um contraexemplo, monstrando que a recíproca é falsa, salvo quando $$a=0$$. Solução: Por hipótese, sabemos que, dado $$\epsilon >0$$, existe $$n_{0}\in\mathbb{N}$$, para o qual, se $$n>n_{0}$$, tem-se: $$|x_{n}-a|<\epsilon$$. Sabemos que a seguinte desigualdade é válida: \[||x_{n}|-|a||\leq|x_{n}-a|\]. Portanto a sentença é mantida: Por hipótese, sabemos que, Leia mais…

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Cálculo Diferencial e Integral

[Cálculo Diferencial/Integral I] – Limites de Funções Trigonométricas

Funções Trigonométricas e Teorema do Confronto Teorema 1: As funções $$sen(x)$$ e $$cos(x)$$ são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Teorema 2 (Limite Fundamental): $$\lim_{x\to 0}\frac{sen(x)}{x}=1$$. Teorema 3 (Confronto): Sejam as funções $$f(x)$$ , $$g(x)$$ e $$h(x)$$ bem definidas em seus domínios, de tal modo que $$f(x)\leq h(x) Leia mais…

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Cálculo Diferencial e Integral

[Cálculo Diferencial/Integral I] – Limites Laterais

 Definição de Limites Laterais Consideramos uma função real $$f:A\longrightarrow \mathbb{R}$$, com $$A\subset\mathbb{R}$$, um intervalo. Definição: Dizemos que a função tem limite à direita, e que o limite é igual a $$L$$, no ponto $$x_{0}\in A$$, se, dado ε>0, existe δ>0 tal que, se $$ x_{0}<x<x_{0}+\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$. Escrevemos, portanto, $$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L$$. Este Leia mais…

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Cálculo Diferencial e Integral

[Cálculo Diferencial/Integral I] – Limites de Funções

Definição de Limite e Continuidade Definição: Dizemos que a função tem limite, e que o limite é igual a $$L$$, no ponto $$x_{0}\in A$$, se, dado ε>0, existe δ>0 tal que, se $$|x-x_{0}|<\delta\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$. Escrevemos, portanto, $$\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L$$. Definição: Dizemos que a função é contínua no ponto $$x_{0}$$, se existir Leia mais…

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